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【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第7~8题
一、原题7
1． 如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　）
A．80° B．100° C．110° D．120°
二、变式1基础
2．如图，直线，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　）
A．120 B．130° C．140° D．150°
4．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
三、变式2巩固
5．如图，在和中，点C在边上，边交边于点F．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，，，添加下列哪一个条件可以推证（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点M和点N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，下列结论：
①是的平分线；②；③分别连接、，则判定的依据是“”；④边上任意一点到边和边上的距离都相等；其中正确的结论共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
四、变式3提高
8．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥连接，平分；⑦为等边三角形．其中正确的有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
9．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF交BC于点M，连接OM，若∠BAD＝120°，OM＝3，则AC的长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
10．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
五、原题8
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数 的图象与边AC交于点M，与边BC交于点 N(M，N不重合).给出下面四个结论：
①△COM 与△CON 的面积一定相等；
②△MON 与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
六、变式1（基础）
12．反比例函数的图象经过（　　）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
13．已知某函数图象经过，，三个点，则该函数图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
14．关于反比例函数的图象与性质，下列说法正确的是（　　）
A．图象分布在第二、四象限 B．的值随值的增大而减小
C．当时， D．点和点都在该图象上
七、变式2（巩固）
15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段AB的长为8；②点的坐标为；③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．如图，在中，，反比例函数在第一象限的图象分别交OA、AB于点C、D，且，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
17．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）.根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当I=0.2时，R=1000
B．I与R的函数表达式是
C．当R＞500时，I＞0.44
D．当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25
八、变式3（提高）
18．已知函数的图象如图所示，点是轴负半轴上一动点，过点作轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：①若点在图象上，且，则；②当点坐标为时，是等腰三角形；③无论点在什么位置，始终有；④当点移动到使时，点的坐标为．
其中正确的结论个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
19．如图，直线和双曲线分别是函数y1=x（x≥0），y2=（x>0）的图象，则以下结论：
①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）②当x>2时，y1A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
20．如图，直线与轴，轴相交于，两点，与的图象相交于两点，连接OA，OB．下列结论：①；②不等式的解集是或；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接AB，AC，BC
由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB
∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°
∴△OAC≌△OBC(SSS)
∴
∴∠OAC=180°-∠AOC-∠ACO=100°
故答案为： B
【分析】连接AB，AC，BC，由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，根据等边三角形判定定理可得△ABC为等边三角形，则∠ACB=60°，再根据全等三角形判定定理可得△OAC≌△OBC(SSS)，则，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
，
，
．
故选：B．
【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，解题的关键是利用平行线性质找到与已知角相关的角，再结合三角形内角和计算。首先根据两直线平行，内错角相等的性质，因为 ，所以可得出 （ 为图中与 对应的内错角）；接着观察图形可知，、 和 在同一个三角形中，而三角形内角和为 ，因此用 减去 和 的度数，即 ，就能算出 的度数。
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；补角
【解析】【解答】解：直角三角板含60°角，则另一个锐角为30°.
∴∠= 180°- 30°= 150°
故答案为：D.
【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为180°是解题关键.先确定三角板的内角，再利用平角的知识，通过角度关系求出∠ .
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°．
故选B．
【分析】根据三角形内角和定理进行角的运算即可求解。
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】先证明，得到，然后利用三角形外角的性质，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：，
，
即，
又，
A、添加条件，不能判断，故A不符合题意；
B、添加条件，不能判断，故B不符合题意；
C、添加条件，可得，不能判断，故C不符合题意；
D、添加条件，可以利用SAS推证，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 可得，利用SSS可对A进行判断，根据SAS可对B、C、D进行判断.
7．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图判定是的平分线，故①正确；
因为，
所以，
所以，
所以，故②正确；
根据作图可知：，，
因为，
所以，故③错误；
根据角平分线的性质可知：边上任意一点到边和边上的距离都相等，故④正确；
综上分析可知：正确的有3个．
故答案为：B．
【分析】根据作图痕迹可得是的平分线，再利用“SSS”证出，最后利用全等三角形的性质及角的运算和等量代换逐项分析判断即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①∵、是等边三角形，
∴，，，
∴，
在△ACD和△BCE中
∴，
∴，
∴结论正确；
②由①得：，
∴∠CAD=∠CBE，
∵，
∴，
在△ACP和△BCQ中
∴，
AP=BQ，
∴结论正确；
③由②得：，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴结论正确；
④由② 可得：，
∴结论正确；
⑤∵，
∴，
∴结论错误，
⑥作，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴结论正确；
⑦由③得：是等边三角形，
∴结论正确；
∴正确的有6个.
故答案为：C．
【分析】①由等边三角形的性质，用边角边可得，然后由全等三角形的对应边相等可求解；
②由①中的全等三角形可得∠CAD=∠CBE，结合已知，用边角边可得，然后由全等三角形的对应边相等可求解；
③由②可得，由全等三角形的对应边相等可得CP=CQ，根据有一个角等于60°的等腰三角形可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，然后根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可判断求解；
④由②可求解；
⑤由③得是等边三角形，于是可得，则；
⑥作，，根据全等三角形的面积相等可得，根据角平分线的判定“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”可求解；
⑦由③得是等边三角形．
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形，
AC⊥BD，AB=AC，
由作图可知，EF是线段BC的垂直平分线，
OM是的中线，
BC=2OM=2×3=6，
∠BAD＝120°，四边形ABCD是菱形，
∠BAC=60°，
是等边三角形，
AC=BC=6.
故答案为：D.
【分析】先根据菱形的性质得到AC⊥BD，AB=AC，再根据作图步骤得出OM是的中线，进而得到BC=2OM=2×3=6，再证是等边三角形，即可得到AC=BC=6.
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．
【分析】先根据等边三角形的性质结合三角形内角和定理即可得到FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，再根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明△AFH≌△CHG得到AF＝CH，从而根据等边三角形的性质结合题意等量代换即可求解。
11．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为，则A(a，0)，B，C
∴
∴
∴，①正确
，即a=b
当a=b时，M，N重合，与题意不符，②错误
∵四边形OACB为矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M，N在第一象限
∴∠AOM，∠BON均为锐角
∵∠MON=90°-∠AOM-∠BON
∴∠MON<90°，∠MON是锐角
过点O作OH⊥MN于点H
由是一个固定形式的正数
∵
∵
∴OH>0
在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的锐角
∴∠OMH<90°，∠ONH<90°，即∠OMN<90°，∠ONM<90°
∴△MON的三个角都是锐角
∴△MON一定是锐角三角形，③正确
假设△MON是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60°
若OM=ON。则OM2=ON2
即
整理得：
∴
∵a≠b(M，N不重合)
∴，解得：ab=1
此时OM=ON，但结合条件∠MON=60°
由于ab=1时，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求
∴△MON不可能是等边三角形，④错误
故答案为： A
【分析】设点M坐标为，点N坐标为，则A(a，0)，B，C，根据两点间距离可得，再跟据三角形可判断①，②；由四边形OACB为矩形，∠AOB=90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M，N在第一象限可得∠AOM，∠BON均为锐角，根据角之间的关系可得∠MON<90°，∠MON是锐角，过点O作OH⊥MN于点H，根据三角形面积可得OH>0，在△OMH和△ONH中，∠OMH，∠ONH是直角三角形是的锐角，再根据角之间的关系可判断③；假设△MON是等边三角形，则OM=ON=MN，且∠MON=60°，若OM=ON，则OM2=ON2，化简可得，解得：ab=1，此时OM=ON，但结合条件∠MON=60°，由于ab=1时，∠AOM+∠BON=90°-60°=30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求
∴△MON不可能是等边三角形，可判断④.
12．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵-1<0，
∴图象经过第二、四象限，
故选：D.
【分析】根据反比例函数图象的性质即可解答.
13．【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，在函数图象上，
∴图象关于y轴对称，
∴A、B选项排除，
当时，y随x的增大而增大，
故符合要求的函数图象为D选项.
故答案为：D．
【分析】由，可得图象关于y轴对称，再根据， 可知，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
14．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A：k＝6＞0，图象经过第一、三象限，故说法A不正确；
B：k＝6＞0，图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x增大而减小，故说法B错误；
C：k＝6＞0，图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x增大而减小，所以当 2＜x＜0时，y＜ 3，故说法C错误；
D：当x＝1时，y＝6；x＝6时，y＝1，所以点（1，6）和点（6，1）都在该图象上，故说法D正确；
故答案为：D.
【分析】依据反比例图象的性质依次判断即可．
15．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】①解：点横坐标为，代入得；点在上且横坐标为，则，所以，①正确；
②解：联立与（ ），得，，（ ），则，所以，②正确；
③解：由，结合函数图象，当时，的图象在上方，即一次函数值大于反比例函数值，③错误.
所以正确结论有个.
故答案为：C .
【分析】分别验证三个结论：①通过坐标计算长度；②联立方程求交点坐标；③根据函数图象位置判断时函数值大小.
16．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：，
设，则，
直线OA的关系式为，
反比例函数的关系式为，
由题意得，
，解得：（舍去）
，
故答案为：B
【分析】由，可知点的纵坐标是横坐标的2倍，因此可知点在直线上，由，可以确定反比例函数的关系式，两个函数的关系式联立求出交点坐标即可．
17．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意设反比例函数的解析式为
将点P（880，0.25）代入解析式可得：，解得：k=220
∴反比例函数的解析式为，B错误，不符合题意
当I=0.2时，即，解得：R=1100，A错误，不符合题意
当R=500时，
∴由图象可得，当R＞500时，I<0.44，C错误，不符合题意
当R=800时，，当R=1000时，
∴ 当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25。D正确，符合题意
故答案为：D
【分析】设反比例函数的解析式为，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得反比例函数的解析式为，B错误，不符合题意，再根据反比例函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
18．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；相似三角形的判定；坐标系中的两点距离公式；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，
∴y1＞y2，故①错误．
②正确．∵P(0，﹣3)，
∴B(﹣1，﹣3)，A(4，﹣3)，
∴AB＝5，OA＝=5，
∴AB＝AO，
∴△AOB是等腰三角形，故②正确．
③正确．设，则，
，故③正确．
④正确．，则，
∵∠AOB＝90°，∠OPB＝∠OPA＝90°，
∴∠BOP+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAP＝90°，
∴∠BOP＝∠OAP，
∴△OPB∽△APO，
∴m4＝36，
∵m＜0，
，故④正确．
故答案为：B
【分析】根据反比例函数的增减性可判断①；根据点P坐标可得点A，B坐标，再根据两点间距离可得AB，OA，再根据等腰三角形判定定理可判断②；设，则，根据两点间距离可得，再根据三角形面积可判断③；根据角之间的关系可得∠BOP＝∠OAP，再根据相似三角形判定定理可得△OPB∽△APO，则，代值计算即可判断④.
19．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：联立，解得：
∴两函数图象的交点坐标为(2，2)，①正确
由图象可得，当x>2时，y1>y2，②错误
当x=1时，y1=1，y2=4
∴BC=4-1=3，③正确
∵k1=1>0，则y1随着x的增大而增大
k2=4>0，则y2随着x的增大而减小，④正确
故答案为：A
【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，可判断①，当直线图象在双曲线图象上方时，有 y1>y2，结合函数图象可判断②，将x=1分别代入函数解析式求出y值，再根据两点间距离可判断③，根据直线与双曲线的性质可判断④.
20．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①由图象可知：，
，故正确；②从图象上观察可得，不等式的解集是或，故错误；④将两点代入得：，
即：，则，故正确；③将代入得：，解得：，
令，解得：，
令，解得：，
，故正确；
∴正确的有：①③④
故答案为：C
【分析】根据反比例函数，一次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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