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【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第13~14题
一、原题13
1．判断命题“若，则”是假命题，需要举出的反例是　 　．
二、变式1基础
2．下列命题：①若a2＝b，则a＝；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③全等三角形的周长相等；④等边三角形的三个内角相等．它们的逆命题是真命题的有　 　．
3．命题“同旁内角互补”是　 　命题．（填“真”或“假”）
4．下列命题中正确的是 　 　.
①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；
②两个无理数的和一定是无理数；
③一个有理数与一个无理数的积一定是无理数；
④两个无理数的积一定是无理数．
三、变式2巩固
5．要说明命题“若a＜1，则a2＜1”是假命题，可以举的反例是a＝　 　（一个即可）
6．已知命题 ，则a>b”是假命题，请举出一个反例　 　
7．要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是　 　（写出一个即可）．
四、变式3提高
8．判断下列命题的真假.若是真命题，则在命题后面的横线里填写“真”，否则填写“假”.
（1）直角三角形的内角都是直角.　 　
（2）两个互补的同旁内角的角平分线互相垂直.　 　
（3）锐角没有补角.　 　
（4）代数式是完全平方式.　 　
9． 若a>b， 则 是 (真或假)命题.
10．举一个反例就可以说明一个命题是假命题．要说明命题“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是假命题，可以举反例：　 　．
五、原题14
11．如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为 .
六、变式1（基础）
12．如图，，是的切线，，为切点，若，则　 　．
13．如图所示，已知的半径等于4，P为外一点，为的切线，，直线与相交于C，D两点，则的长为　 　．
14．如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是　 　．
七、变式2（巩固）
15．如图， ⊙O的切线PA 与直径CB的延长线交于点A，点P 为切点，连接PC.若∠A=20°，则∠C的度数为　 　．
16．如图，AB切于点，连接BO交于点C，D是优弧上一点，若为，则　 　(用含的代数式表示).
17．如图，是的直径，、分别切于点B、C，若，则的度数是　 　；
八、变式3（提高）
18．如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则　 　度．
19．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=　 　．
20．如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P=50°，则∠PAB的大小为　 　。
答案解析部分
1．【答案】当时，满足，但是
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵当时，满足，但是，
∴“若，则”是假命题的反例为：当时，满足，但是，
故答案为：当时，满足，但是．
【分析】根据举反例是满足条件，但不满足结论解答即可．
2．【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；角平分线的判定；真命题与假命题；逆命题；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：①a2＝b，则的逆命题是：若，则a2＝b，是真命题；
②角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是：到角两边的距离相等的点在角的平分线上，是真命题；
③全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形是全等三角形，是假命题.
④等边三角形的三个内角相等的逆命题是：三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题.
故答案为：①②④.
【分析】先写出各个命题的逆命题，再判断真假即可.
3．【答案】假
【知识点】真命题与假命题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：两直线平行，同旁内角互补，所以命题“同旁内角互补”是一个假命题；
故答案为：假．
【分析】根据平行线的性质判断命题的真假．
4．【答案】①
【知识点】无理数的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①有理数与无理数之和一定是无理数，是对的，例如，是无理数．
②无理数与无理数之和一定是无理数，是错误的，例如，，0是有理数．
③有理数与无理数之积一定是无理数，是错误的，例如，，0是有理数．
④无理数与无理数之积一定是无理数，是错误的，例如，，2是有理数．
故正确的只有①.
故答案为：①．
【分析】根据无理数的性质可对每一个结论进行分析，举出反例，即可进行判断.
5．【答案】 2（答案不唯一，满足题意即可）
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：由题意，当a= 3时，满足a<1，但不满足a2<1，
故答案为： 3（答案不唯一，满足题意即可）．
【分析】要使得a2<1成立，则 16．【答案】a=-1，b=0
【知识点】有理数的乘方法则；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题 ，则a>b”，
∴当a=-1，b=0时，a2=1，b2=0，
∴a2>b2
此时a∴命题 ，则a>b”是假命题的反例可以是a=-1，b=0.
故答案为：a=-1，b=0 .
【分析】根据反例的定义给出符合题意的例子即可.
7．【答案】（答案不唯一）
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵命题“若，则”是假命题，
∴，
∴反例的值可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据不等式的基本性质举反例即可．
8．【答案】（1）假
（2）真
（3）假
（4）假
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：（1）直角三角形只有一个内角是直角，故该命题是假命题；
（2）如果两个同旁内角互补，那么这两个角的角平分线互相垂直，故该命题是真命题；
（3）锐角有补角，故该命题是假命题；
（4） 代数式不是完全平方式，故该命题是假命题；
故答案为：假，真，假，假.
【分析】由正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行判断.
（1）根据“直角三角形只有一个内角是直角”即可求解；
（2）根据“如果两个同旁内角互补，那么这两个角的角平分线互相垂直”即可求解；
（3）根据“如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角”即可求解；
（4）利用完全平方公式即可求解.
9．【答案】假
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：0>-2，但02<(-2)2，故此命题为假命题.
故答案为：假 .
【分析】直接取一个反例即知为假命题.
10．【答案】当时，，积为有理数
【知识点】无理数的概念；举反例判断命题真假；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：当时，，为有理数，
∴原命题为假命题．
故答案为：当时，，积为有理数
【分析】
本题考查举反例．要证明“无理数之积是无理数”为假命题，需找到两个无理数，使它们的乘积为有理数，根据题意，举出一个反例即可．
11．【答案】43°
【知识点】平行线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DOB =∠FOB=23.5°，
∴∠DOF =∠DOB+∠FOB=47°，
∵GD∥HF，
∴∠OFH =180°-∠DOF=180°-47°= 133°
∵FI是⊙O的切线，
∴OF⊥FI，
∴∠OFI = 90°，
∴∠IFH = 133°-90°= 43°，
故答案为：43°.
【分析】根据平行线的性质求出∠OFH，根据切线的性质得到∠OFI = 90°， 进而求出∠IFH即可.
12．【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴．
又，
平分，
在中，，
∴，
则，
则．
故答案为：．
【分析】
该题考查切线的性质，解直角三角形，角平分线的判定，根据切线的性质得出OB⊥PB，解直角三角形，从而得出∠OPB=30°，即可求解．
13．【答案】2
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
由题意知，，
∵为的切线，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍），
故答案为：2．
【分析】如图，连接OA，由题意知，，由圆的切线垂直经过切点的半径可得，设，则，在Rt△OAP中，由勾股定理建立方程，计算求出满足要求的解即可．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是切线，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据切线性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
15．【答案】35°
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案：35°．
【分析】根据切线的性质可得，然后根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据圆周角定理解答即可．
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OA，如图：
∵ AB切于点，
∴∠OAB=90°，
∴∠AOB=90°-α，
∴
故答案为：
【分析】由切线的性质知∠OAB=90°，即可得∠AOC，由圆周角与圆心角的关系可得∠ADC的度数.
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；补角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
∵、分别切于点B、C，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：50°．
【分析】连接，根据切线性质可得，则，根据补角可得，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
18．【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AC是切线，
∴∠A=90°，
∴∠B=90°-∠C=90°-40°=50°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=50°，
∴∠AOD=∠B+∠ODB=50°+50°=100°.
故答案为：100.
【分析】利用切线的性质可证得∠A=90°，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再利用等边对等角可得到∠ODB的度数；然后利用三角形的外角的性质可求出∠AOD的度数.
19．【答案】35°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠CAD=∠COD=35°，
故答案为35
【分析】连接OD，构造直角三角形，根据等边对等角及同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
20．【答案】20°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵PB与⊙O相切于点B，
故答案为：20°.
【分析】连接OB，由切线的性质得即可得到根据圆周角定理解答即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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