资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题
一、原题15
1．折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动。如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程。其步骤为：先将CD边沿CF折叠，D点的对应点为D'，再将BC沿CD'折叠，使得B点恰好落在CF边上的B'处折痕与AB边交于E.若正方形边长为，连接EF，则△AEF的面积=　 　.
二、变式1基础
2．如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则　 　．
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A 的坐标为（-2，1)，将正方形沿某一方向平移后点C1的坐标为（1，5)则点 A1的坐标为　 　.
4．正方形ABCD 的内部有17个点，它们与正方形的4个顶点共计21个点，其中任意三点都不共线，以这21个点为顶点，将该正方形剪成小三角形，最多可以剪出　 　小三角形，此时共剪　 　刀.
三、变式2巩固
5．如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为　 　．
6．如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于　 　．
7．如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则　 　．
四、变式3提高
8． 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD 上，BE⊥CF于点G，若BC=8，AF=2，则GF的长为　 　.
9．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B'处，若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为　 　．
10． 如图，在矩形纸片 ABCD 中，点 E，F分别在矩形的边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF 折叠，点 B 落在点 H处，点 D 落在点G处，点C，H，G恰好在同一直线上.若AB=6，AD=4，BE=2，则DF的长是　 　.
五、原题16
11．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）：
箭尺读数（cm） 1 3.5 6 13.5 21 31
指示时间 7：00 8：00 9：00 12：00 19：00
则箭尺读数为21cm时，指示时间应为　 　.
六、变式1（基础）
12．日常生活中，“老人”是一个模糊概念．可用“老人系数”表示一个人的老年化程度．“老人系数”的计算方法如下表：
人的年龄x（岁） x≤60 60＜x＜80 x≥80
“老人系数” 0 1
按照这样的规定，“老人系数”为0.6的人的年龄是　 　 岁．
13．点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系如表：则蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系式　 　．
/分 0 2 4 6 8 10
h/厘米 30 29 28 27 26 25
14．一空水池，现需注满水，水池深4.9m，现以均匀的流量注水，如下表：
水的深度 （m） 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间 （h） 0.5 1 1.5 2
由上表信息，我们可以推断出注满水池所需的时间是　 　h.
七、变式2（巩固）
15．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）之间的关系如下从表中可知音速y随温度x的升高而　 　 在气温为20℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点　 　米．
气温（x/℃） 0 5 10 15 20
音速y（米/秒） 331 334 337 340 343
16．据国家统计局统计，新中国成立以来至2000年，我国各项税收收入合计见表．
年份 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
税收收入/亿 48.98 127.45 203.65 204.30 281.20 402.77 571.70 2040.79 2821.86 6038.04 12581.51
从表中可以得出：新中国成立以来我国的税收收人总体趋势是　 　，其中，　 　年与5年前相比，增长百分数最大；　 　年与5年前相比，增长百分数最小；2000年与1950年相比，税收收入增长了　 　倍（保留一位小数）．
17．下表所列为某商店薄利多销的情况．某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化（如表）：
降价（元） 5 10 15 20 25 30 35
日销量（件） 780 810 840 870 900 930 960
这个表反映了　 　个变量之间的关系，　 　是自变量，　 　是因变量．从表中可以看出每降价5元，日销量增加　 　件，从而可以估计降价之前的日销量为　 　件，如果售价为500元时，日销量为　 　件．
八、变式3（提高）
18．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①当时，x越小，函数值越小；
②当时，x越大，函数值越小；
③当时，x越小，函数值越大；
④当时，x越大，函数值越大．
其中正确的是　 　（只填写序号）．
19．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过　 　秒恰好将水槽注满.
20．A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地　 　．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵正方形边长为
∵正方形的直角内角 经过两次折叠后两边分别重合，
在 中，
的面积
故答案为：
【分析】根据正方形边长为 可得 根据题意可得正方形的直角内角 经过两次折叠后两边分别重合，所以 ，然后根据含30度角的直角三角形可得AE和AF的长，进而可得 的面积.
2．【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，∠ABC=90°，
∴，
∴，
∵，=4，=6，
∴=6-4=2.
故答案为2.
【分析】根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可求出的值.
3．【答案】(4，2)
【知识点】点的坐标；正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长为3，点A 的坐标为（-2，1)，
∴C（-5，4），
∵ C1的坐标为（1，5) ，
∴正方形ABCD先向右移动6个单位，再向上移动1个单位，
∵ 点A 的坐标为（-2，1)， ，
∴ 点 A1的坐标为 （4，2）。
故答案为：(4，2).
【分析】首先根据正方形的性质，求出点C（-5，4），再根据点C1的坐标，可得出正方形ABCD移动到正方形A1B1C1D1的方向和单位长度，进而根据点A的坐标，即可得出点A1的坐标。
4．【答案】36；52
【知识点】角的运算；正方形的性质；多边形的边
【解析】【解答】解：由题意可得：(个)，
∵每个三角形有3条边，而正方形原来的4 条边不用剪，其余的边是两个三角形的公共边，剪一刀可得到两条边，
∴共剪的刀数是 52(刀)
【分析】根据正方形及三角形性质即可求出答案.
5．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；等积变换
【解析】【解答】解：四边形为正方形，且边长为4，
，，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
由三角形的面积得：，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】首先证明和全等得，然后在中由勾股定理求出，则，再根据面积法求出，进而可得的长．
6．【答案】12
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，字母所表示的正方形的边长为，
∴字母所表示的正方形面积等于.
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出字母所表示的正方形的边长为，再利用正方形的面积公式求解即可.
7．【答案】30
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质，可得AD=AB，，再根据是等边三角形，可得AE=AB，，然后再根据等腰三角形和三角形内角和公式，可求出，最后再根据，代入数据即可求解。
8．【答案】5.2
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；十字架模型；余角；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，BC=8，
∴∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC=8，
又∵AF=2，
∴DF=6，
∵BE⊥CF于点G
∴∠BGC=90°，
∴∠CBG+∠BCG=∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠CBG=∠DCF，
在△CDF和△BCE中，
∴△CDF≌△BCE(AAS)，
∴CE=DF=6，
∵在Rt△BCE中，BC=8，CE=6，
∴，
∴，
∴
∵△CDF≌△BCE，
∴CF=BE=10，
∴
故答案为：5.2.
【分析】先根据∠BCF的余角相等得∠CBE=∠DCF，再证明△CDF≌△BCE，得CE=DF=6，BE=10，再在△BCE中用等面积法求出CG，由GF=CF-CG便可求得结果.
9．【答案】16或4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当B'D=B'C时，过B'点作GH∥AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=BC=CD=DA=16，∠A=∠B=90°
又∵GH∥AD，
∴GH∥BC∥AD，
∴四边形AGHD与四边形GHCB都是矩形，
∴GH⊥CD，GH=AD=16，
∴AG=DH=DC=8，
∵AE=3，AB=16，
∴BE=AB-AE=13，EG=AG﹣AE=8﹣3=5，
由翻折的性质，得B'E=BE=13，
∴B'G===12，
∴B'H=GH﹣B'G=16﹣12=4，
∴DB'===；
②当DB'=CD时，则DB'=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）；
③当CB'=CD时，
∵EB=EB'，CB=CB'，
∴点E、C在BB'的垂直平分线上，
∴EC垂直平分BB'，
由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB'的长为16或．
故答案为：16或．
【分析】①当B'D=B'C时，过B'点作GH∥AD，由正方形的性质得AD∥BC，AB∥CD，AB=BC=CD=DA=16，∠A=∠B=90°，易得四边形AGHD与四边形GHCB都是矩形，则GH⊥CD，GH=AD=16，由等腰三角形的三线合一及矩形的对边相等得AG=DH=DC=8，由线段的和差算出BE=13，EG=5，由翻折的性质，得B'E=BE=13，然后利用勾股定理算出B'G=12，DB'=；当DB'=CD时，则DB'=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）；③当CB'=CD时，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线可得EC垂直平分BB'，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去，综上可得答案.
10．【答案】2
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作 于N，
∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，
在 和 中，
∴四边形BCNM是矩形，
又·
∴四边形BCNM是正方形，
故答案为：2 .
【分析】由折叠的性质可得C 由“AAS”可证 可得NP=PH，CH=CN=4，通过证明四边形BCNM是正方形，可得MN=BM=4，在 中，利用勾股定理可求NP的长，由锐角三角函数可求解.
11．【答案】15：00
【知识点】用表格表示变量间的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由表格可得，至，读数从变成了；
至，读数从变成了，
∴箭尺每小时匀速上升，
以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为，
∴
设当箭尺读数为时，
解得．
∴从经过8小时后，指示时间为．
故答案为：．
【分析】设经过x小时后，箭尺读数为，根据表格数据得到函数关系式，进而进行计算即可求解．
12．【答案】72
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：设人的年龄为x岁，
∵“老人系数”为0.6，
∴由表得60＜x＜80，
即=0.6，解得，x=72，
故“老人系数”为0.6的人的年龄是72岁．
【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当y=0.6时，在60＜x＜80之间，所以将y的值代入对应的函数解析式即可求得函数的值．
13．【答案】
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】由表格数据可知，蜡烛每2分钟燃烧1厘米，
∴
故答案为：
【分析】根据蜡烛的高度＝原长-燃烧的长度即可求．
14．【答案】3.5
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：由表格中的数据得出注水时间每增加0.5个小时，水的深度就加深0.7m，
∴注水时间每增加1个小时，水的深度就加深1.4m，
∴4.9÷1.4=3.5（小时）
∴推断出注满水池所需的时间是3.5小时；
故答案为：3.5
【分析】由表格中的数据得出注水时间每增加0.5个小时，水的深度就加深0.7m，由此得出答案；
15．【答案】加快；68.6
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：观察表中的数据可知，音速随温度的升高而加快；
当气温为20℃时，音速为343米/秒，而该人是看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声．
则由此可知，这个人距发令地点343×0.2=68.6米．
【分析】根据表中数据可列出音速与时间的关系式，进而求出答案．
16．【答案】上升；1985；1965；255.9
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：（127.45﹣48.98）÷48.98≈160.2%；
（203.65﹣127.45）÷127.45≈59.8%；
（204.30﹣203.65）÷203.65≈0.3%；
（281.20﹣204.30）÷204.30≈37.6%；
（402.77﹣281.20）÷281.20≈43.2%；
（571.70﹣402.77）÷402.77≈41.9%；
（2040.79﹣571.70）÷571.70≈257.0%；
（2821.86﹣2040.79）÷2040.79≈38.3%；
（6038.04﹣2821.86）÷2821.86≈114.0%；
（12581.51﹣6038.04）÷6038.04≈108.4%；
（12581.51﹣48.98）÷48.98≈255.9（倍）；
新中国成立以来我国的税收收人总体趋势是上升，其中，1985年与5年前相比，增长百分数最大；1965年与5年前相比，增长百分数最小；2000年与1950年相比，税收收入增长了25587.0倍．
故答案为：上升；1985；1965；255.9．
【分析】由表中的数据，分别算出与5年前相比，增长百分数，进一步比较得出答案即可．
17．【答案】两；降价（元）；日销量；30；750；1110
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：∵日销量随降价的改变而改变，
∴降价（元）是自变量，日销量是因变量．
从表中可：日销量与降价之间的关系为：
日销量=750+（原价﹣售价）÷5×30；
则可以估计降价之前的日销量为780﹣30=750件，
售价为500元时，日销量=750+（560﹣500）÷5×30=1110件．
【分析】根据函数的定义即可确定自变量与因变量；从表中可以看出每降价5元，日销量增加30件，则日销量与降价之间的关系为：日销量=750+（原价﹣售价）÷5×30；将已知数据代入上式即可求得要求的量．
18．【答案】②③④
【知识点】函数自变量的取值范围；函数的图象
【解析】【解答】解：∵函数，
∴
令y'=0，
∴2x3-2=0，
∴x=1，
∴当x<0或0当x≥1时，y'≥0，则此时y随x增大而增大.
∴当x<-1时，x越小，函数值越大，故结论①错误；
当-1当0当x>1时，x越大，函数值越大，故结论④正确；
故答案为：②③④.
【分析】结合题意，根据函数的性质判断求解即可。
19．【答案】4
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm；
没有立方体时，水面上升从10cm到20cm，所用的时间为：28-12=16秒
前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒
将正方体铁块取出， 又经过4秒恰好将此水槽注满.
故答案：4
【分析】本题主要考查一次函数的图象及应用，根据函数图象，得到正方体的棱长为10cm，水面上升从10cm到20cm，所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，进而得到答案.
20．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象可得出甲的速度为：，乙的速度为：100-80=20，
设他们相遇时间为出发t小时，则：（15+20）t=100，解得：t=，
∴他们相遇时距离A地：15×=（或42）.
故答案为：.
【分析】根据图像中的关键点，可得出甲，乙的速度，然后根据相遇问题可列出方程，求得相遇时的时间，进而根据他们的速度，即可得出相遇时离A地的距离。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑