资源简介

南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习
数学参考答案及评分说明
说明：（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分．
（2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．
（3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分．
（4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分．
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．A； 2．B； 3．C； 4．C； 5．B；
6．A； 7．D； 8．C； 9．B； 10．A．
二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．2(答案不唯一，只要即可）； 12．； 13．； 14．8 ； 15．185； 16．．
17.（8分）
解：原式=， 6分
(每个式子化简正确各得2分)
. 8分
18.（8分）
证明：∵对角线平分，
∴∠BAC=∠DAC， 2分
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（AAS）， 6分
∴AB=AD. 8分
（说明：其它解法请参考评分标准酌情给分).
19.（8分）
解：将方程两边同时乘以，得： 1分
， 2分
， 4分
， 6分
检验：当时，， 7分
所以，原分式方程的解为. 8分
（说明：其它解法请参考评分标准酌情给分).
20.（8分）
（1）解：作图（痕迹2分，连线1分） 3分
ADEF即为所求菱形 4分
（2）解：∵
∴ 5分
由（1）得，四边形ADEF是菱形，设菱形的边长为x
∴AD=DE=AF=x，DE∥AF， 6分
∴△BDE∽△BAC，AC=AF+CF=x+2
∴， 7分
即，解得
经检验是原方程的解 8分
∴菱形的边长为3.
（说明：其它解法请参考评分标准酌情给分).
21.（8分）
（1）解：= -1 ；OC= ； 4分
（2）解：由（1）得=-1，OC=，
所以，直线的解析式为，
当y=0时，则，解得，
所以，，
所以，OB=6，
因为，四边形AOBC是平行四边形
所以，AC∥OB，AC=OB=6，
因为，A（2，4）
所以，C（8，4） 5分
过点C作CH⊥x轴于点H，则CH=4，OH=8，
Rt△OCH中： 6分
由已知得，OP=CQ=，
①当时，
即，
解得，t=1，符合题意 7分
②当时，
，
解得，t=3，符合题意 8分
综上所述，t=1或3.
（说明：其它解法请参考评分标准酌情给分).
22.（10分）
解：（1）第一次摸出白球的概率是. 4分
（2） 从A成功到B的实质是：一次向右，一次向上. 5分
摸球的情况列表如下：
8分
共有9种等可能结果，符合条件的有4种， 9分
所以，P（从A成功到B）= 10分
（备注：学生答题正确，但未说明不扣分）
（2） 从A成功到B的实质是：一次向右，一次向上. 5分
摸球的情况画树状图如下：
8分
共有9种等可能结果，符合条件的有4种， 9分
所以，P（从A成功到B）= 10分
（备注：学生答题正确，但未说明不扣分）
23. （10分）
解：（1）根据题意得，
321-123=198；
981-189=792； 1分
972-279=693； 2分
963-369=594； 3分
954-459=495. 4分
①解：根据题意得，a，b，c为非负整数，
最大数=100a+10b+c， 5分
最小数=100c+10b+a， 6分
所以，最大数与最小数的差=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c； 7分
②解法一：由①得，最大数与最小数的差=99a-99c=99(a-c)，
因为最大数与最小数的差记为M=100x+10y+z，
所以，99(a-c)=100x+10y+z， 8分
99(a-c)+(a-c)-(a-c)=100x+10y+z，
100(a-c)-100+100-(a-c)=100x+10y+z，
100(a-c-1)+90+10-(a-c)=100x+10y+z， 9分
即100(a-c-1)+10×9+(10-a+c)=100x+10y+z，
又因为百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且a，b，c为非负整数，a > b > c，
所以，0＜a-c-1＜9，0<10-a+c＜9，
又因为x，y，z是整数，0≤x，y，z≤9，
所以，y=9. 10分
解法二：由①得，最大数与最小数的差=99a-99c=99(a-c)，
因为最大数与最小数的差记为M=100x+10y+z=99x+(x+10y+z)
所以，99(a-c)=99x+(x+10y+z)， 8分
x+10y+z=99(a-c)-99x=99(a-c-x），
x+10y+z能够被99整除， 9分
又因为x，y，z是整数，0≤x，y，z≤9，
所以，0≤x+z≤18，0≤10y≤90，
所以，0≤x+10y+z≤108，
又因为x+10y+z能够被99整除，x，y，z不全为0，
所以，x+10y+z=99，
又因为0≤x+z≤18，
所以，10y≥81，
y≥8.1，
所以，y=9. 10分
（说明：其它解法请参考评分标准酌情给分)
24.（12分）
解：（1）把代入抛物线得： 1分
， 2分
解得，， 3分
所以，函数的解析式为, 4分
（2）命题一正确; 5分
理由如下：
因为抛物线与x轴交于，
所以，当y=0时，则，
解得：，，
所以，，
又因为，
所以，直线AM的解析式为， 6分
由（1）得，抛物线的解析式为，
又因为点是直线AM上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交AM于点.
所以，，， 7分
所以，
， 8分
线段PQ的长是关于p的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线p=，
所以，当p>时，PQ随p的增大而减小，
所以，当时，PQ取得最大值-1+1+2=2，
当时，PQ取得最小值-4+2+2=0，
如果，则此时0所以，命题一正确
命题二不正确， 10分
反例：当时，此时PQ=. 12分
（说明：其它解法请参考评分标准酌情给分).
25.（14分）
（1）解：示意图如图所示 1分
（解析：C与F重合时，FE就是CE，与AB交于点B，画示意图即可，不要求尺规作图)
∵∠DAB=120°，AE平分∠DAB
∴∠DAE=∠EAB=60°
连接DE，
∵AD=AB，AE=AE
∴△ADE≌△ABE（SAS） 2分
∴DE=BE，∠DEA=∠AEB
又∵四边形ABCD是圆的内接四边形
∴∠C=180°-∠DAB=60°
又∵DF=BE，F，C重合
∴DE=DC
∴△DEC是等边三角形 3分
∴∠CDE=∠DEC=60°
∴∠DEA=∠AEB=60°
∴△ADE和△AEB都是等边三角形 4分
∴∠ADE=60°，CE=BE
∴∠ADC=120°
∵AD=AB，∠DAB=120°，连接DB
∴∠ADB=30°
∴∠BDC=90°
∴BC是圆的直径 5分
∵圆的半径为2
∴△DEC，△ADE，△AEB的边长为2
∴ 6分
（2）证明：连接DE
同（1）可证∠C=60°，DF=DE，∠DEA=∠AEB
∴∠DFE=∠DEF 7分
∵∠BEG=x°
∴∠CEF=x°
∴∠DFE=∠DEF=60°＋x° 8分
∴∠DEA=∠AEB=60°－x° 9分
∴∠AEF=60°＋x°＋60°－x°=120° 10分
（3）解法一：由（2）可知，∠AEF=120°，∠DAE=∠EAG=60°，DF=DE，
∠DEA=∠AEB=60°－x°，∠DFE=∠DEF=60°＋x°，
∴∠AEG=60°
∴△AEG是等边三角形
∴AG=AE 11分
在FG上截取一点H使得GH=AD
∵∠DAE=60°=∠G=60°
∴△ADE≌△GHA （SAS）
∴AH=DE，∠ADE=∠AHG=60°＋x°
∴AH=DF，∠AHG=∠DFE 12分
∴AH∥DF
∴四边形AHFD是平行四边形
∴AD=FH 13分
∴GH=FH
∴FG=2AD 14分
解法二：过点A作AH∥DF交FG于点H
由（2）可知，∠AEF=120°，∠DAE=∠EAG=60°，DF=DE，
∠DFE=∠DEF
∴∠AEG=60°
∴△AEG是等边三角形
∴∠G=60°，AG=AE 11分
∵∠DAG=120°
∴∠G+∠DAG=180°
∴DA∥FG
∵AH∥DF
∴四边形AHFD是平行四边形，∠ADE=∠DEF，∠AHG=∠DFE
∴AD=FH，∠ADE=∠AHG 12分
∵∠DAE=∠G=60°，AG=AE
∴△ADE≌△GHA （AAS）
∴AD=GH 13分
∴AD=GH=FH即FG=2AD 14分南平市 2026 年初中毕业班第二次适应性练习
数 学
（时间：120 分钟；满分：150 分）
友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效.
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数中，最小的数是
1
A． 3 B． C 1． D． 3
3 3
2. 将数据 46 000 000用科学记数法表示为
A．0.46 108 B．4.6 107 C．46 106 D．4.6 108
3. 下列几何图形中，三视图都相同的是
A． B． C． D．
4. 如图，在 3×3的正方形网格中，A，B两点在格点上，线段
AB绕点 A逆时针旋转一定的角度后得到线段 AC，点 B与
格点 C对应，则旋转角的大小可以为
A．30° B．60°
第 4题图
C．90° D．120°
x 3＞1
5. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
2x 1 x
A． B．
C． D．
九年级数学 第 1 页 （共 7 页）
6. 已知一组样本数据的平均数为 x，利用方差公式计算：
2 213 38 x 14 39 x 3 41 x2
2
s ，由公式提供的信息，可知样
n
本容量是
A．30 B．38 C．39 D．41
7. 下列计算正确的是
A．a2 a2 a4 B．a2 a2 0
C．a2 a2 2a2 D a2 2． a4
8. 如图，⊙O与 PA，PB分别相切于点 A，B，点 C 在
优弧 AB上，若∠P=50°，则∠ACB的大小为
A．130° B．115°
C．65° D．50°
第 8题图
9. 在矩形 ABCD中，点 E在边 BC上，∠AEB=60°，将
△DCE沿着 DE翻折，点 C的对应点 F恰好落在线段
AE AB上，则 的值为
BC
第 9题图
A 1 3 2 3． B． C．1 D．
2 2 3
10. 抛物线C1过点 P(a，0)，Q(3a，0)，将抛物线C1向上平移 2个单位后，得到
抛物线C2：y=ax +bx+c，若抛物线C2上有两点 A（2a-2，y1），B（3a+1，y2），
使得 y1< y2一定成立，则 a的取值范围为
A． 3 a 0或a 1 B． 3 a 0
C．a 1 D． 3 a 1
九年级数学 第 2 页 （共 7 页）
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．将答案填入
答．题．卡．的相应位置）
11．写出一个使得 x 1有意义的 x的值 ．
12．因式分解 x2 1 ．
13．一个圆心角为 90°，半径为 2的扇形面积为 ．
（结果保留 ）
14．小明训练引体向上，记录了 6次练习的成绩，结果 第 14题图
如图所示，则这组数据的众数是 ．
15．如图，在大气环境科研观测作业中，气象探测
仪 A位于地面气象站点 C的正上方，从探测仪 A
上观测地面综合指挥台 B的俯角为 18°，已知 第 15题图
AC⊥BC，AB=600m，则 AC约为 m．
（结．果．取．整．数．，参考数据：sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249．）
16．“费马问题”是法国数学家皮埃尔·德·费马在 1643年提出的一个著名的
几何极值问题.问题的核心是：对任意三角形，都存
在一个点，使得这个点到该三角形三个顶点的距离
之和最小，这个点称为费马点.当△ABC的三个内角
均小于 120°时,使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的 第 16题图
点 P即为费马点.
如图，若 AB=AC=10，BC=12，则 PA+PB+PC的最小值是 ．
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三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分．解答题写出文字说明、证
明过程或演算步骤，在答．题．卡．的相应位置作答）
17. （本小题满分 8分）
0
计算：5 16 2 ．
18.（本小题满分 8分）
如图，在四边形 ABCD中， B D，对角线 AC平分 BAD．
求证： AB AD．
19.（本小题满分 8分） 第 18题图
1 1 4
解方程： ．
x 1 x 1 x2 1
20.（本小题满分 8分）
如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，线段 AE是△ABC的角
平分线.
（1）尺规作图：求作菱形 ADEF，使得点 D，F分别在边 AB，
AC上；（不写作法，保留作图痕迹）
第 20题图
2 AD 2（ ）在（1）所作的图形中，当 CF＝2， 时，
DB 3
求菱形的边长．
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21.（本小题满分 8分）
如图，在平面直角坐标系 xOy中，过点 A(2,4)的直线 y kx 6与 x轴交于点 B，
四边形 AOBC是平行四边形.
（1）填空： k =______，OC=______；
（2）动点 P从点 O出发，沿对角线 OC向终点 C运
动，同时动点 Q从点 C出发，沿对角线 OC向终
点 O运动，运动速度都是每秒 5个单位长度．设
两个点的运动时间为 t秒，在点 P，Q运动过程中，
第 21题图
当PQ=2 5时，求出 t的值.
22.（本小题满分 10分）
在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的 3个小球，
其中红球 1个，白球 2个，从中随机摸出一个，记下颜色后
放回袋子中，再随机摸球一次.
第 22题图
（1）求第一次摸出白球的概率；
（2）如图，在 3×3 的正方形网格中设计一款小游戏，规则：从上述的不透明
的袋子中摸出白球就往右移动一个单位长度；摸出红球就往上移动一个单
位长度.
用列表法或画树状图求从 A成功到 B的概率.
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23.（本小题满分 10分）
阅读下列材料，回答相应问题.
数字黑洞
在数论领域中，存在一类极具趣味性与逻辑性的数字规律——数字
黑洞，其中最具代表性的三位数数字黑洞（又称卡普雷卡常数），由印
度数学家达塔塔拉亚·拉姆钱德拉·卡普雷卡于 1949年发现.
三位数黑洞规则简述如下：
1. 任选一个三位数（三个数字不能完全相同，如不能是 111,222）；
2. 将这三个数字重新排列，得到一个最大数和最小数；
3. 用得到的最大数减去最小数，得到一个新的三位数（如果不足三
位，前面补 0），对新得到的三位数重复上述操作，经过有限次运算后，
最终结果必然稳定在 495，且无论后续重复多少次运算，结果都不会再
发生改变，如同陷入黑洞无法跳出，因此将 495命名为“三位数数字黑
洞”.
例如：取三位数 315，重排得 531，135，作差 531 135=396；对 396
重复操作，重排得 963，369，作差 963 369=594；对 594重复操作，重
排得 954，459，作差 954 459=495，后续运算结果始终为 495.
（1）用三位数 213按规则运算，写出每一步算式，直至得到 495；
（2）设一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，
且 a > b > c（a，b，c为非负整数）.
1 用含 a，b，c 的代数式表示最大数与最小数的差，并化简；
2 若最大数与最小数的差记为 M=100x+10y+z(x，y，z为整数，
0≤x,y,z≤9)，求 y的值.
九年级数学 第 6 页 （共 7 页）
24.（本小题满分 12分）
已知抛物线 y x2 4mx 5m（m 为常数）过点M 2,9 ，与 x 轴交于
A x1,0 ,B x2,0 x1 x2 ，点 P p,q 是直线 AM上方的抛物线上任意一点，
过点 P作垂直于 x轴的直线交 AM于点Q .
（1）求抛物线的函数解析式；
2 9（ ）命题一：如果1＜p＜2，那么 PQ＜ ；
4
9
命题二：如果 1＜p＜1，那么 PQ＜ .
4
判断命题一、二是否正确，若不正确，请举一个反例；若正确，请证明.
25.（本小题满分 14分）
如图，四边形 ABCD内接于圆，AB=AD，∠DAB=120°， AE平分∠DAB交 BC
边于点 E，点 B，C分别在 AE的两侧，点 F在边 CD上，且 DF=BE，FE与 AB
的延长线交于点 G，设∠BEG=x°.
（1）当圆的半径为 2，C与 F重合时，在备用图中画出示意图，并求四边形
ABCD的面积；
（2）求∠AEF的大小；
（3）求证：FG=2AD.
第 25题图 第 25题备用图
九年级数学 第 7 页 （共 7 页）

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