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(共6张PPT)
人教版六年级下册
第五单元数学广角（鸽巢问题）单元测试·基础卷
试卷分析
三、知识点分布
一、填空题
1 0.65 鸽巢问题初步
2 0.65 鸽巢问题初步
3 0.65 最不利原则；鸽巢问题初步
4 0.15 鸽巢问题进阶
5 0.4 鸽巢问题进阶；乘加、乘减混合运算；带有小括号的混合运算
6 0.65 鸽巢问题进阶
7 0.65 最不利原则
8 0.65 最不利原则
9 0.65 最不利原则；可能性大小的应用
三、知识点分布
二、选择题
10 0.65 鸽巢问题初步
11 0.65 鸽巢问题初步
12 0.65 鸽巢问题初步
13 0.65 鸽巢问题进阶；因数和倍数的认识；事件的确定性与不确定性；真分数、假分数、带分数的认识
14 0.65 鸽巢问题进阶；事件的确定性与不确定性；三角形三边关系；质数与合数的认识
15 0.65 最不利原则
16 0.4 最不利原则
17 0.4 最不利原则；抽屉原理
三、知识点分布
三、判断题
18 0.65 有余数除法的实际应用；鸽巢问题初步
19 0.85 抽屉原理；鸽巢问题初步
20 0.65 鸽巢问题进阶；最不利原则
21 0.65 鸽巢问题进阶
22 0.65 最不利原则
三、知识点分布
四、解答题
23 0.65 鸽巢问题初步
24 0.65 鸽巢问题初步
25 0.65 鸽巢问题进阶
26 0.65 最不利原则；抽屉原理
27 0.4 最不利原则；抽屉原理保密★启用前
2025-2026学年六年级数学下学期单元测试卷
第五单元 数学广角（鸽巢问题）单元测试·基础卷
（ 全卷满分100 分，考试时间90 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、填空题（每空2分，共26分）
1．将11颗玻璃珠放入3个盘子里，总有一个盘子里至少放( )颗玻璃珠。
2．一个十一位数，至少有( )个数位上的数字相同；六（1）班49名学生中，至少有( )名学生的属相相同。
3．六（1）班的49名学生中，至少有( )名学生的属相相同；把红、黄、蓝3种颜色的球各若干个，至少要取出( )个球，才能保证取到两个颜色相同的球。
4．在边长为1的正三角形中任意放入122个点，必有2个点的距离不大于为大于0的整数，则的最大值为( )。
5．将62个乒乓球放在8个空盒子里，8个盒子放的乒乓球个数都不相同，那么放乒乓球个数最少的盒子里最多有______个乒乓球。
6．光明小学六（1）班有男、女生各23人，至少有( )人的生日在同一个月。
7．在一个黑盒子里有蓝、黄、绿三种颜色的玻璃球，每种颜色各2个，要保证取出的玻璃球中三种颜色都有，至少应取出( )个；要保证取出的玻璃球中有两个颜色相同，至少应取出( )个。
8．箱子中有质地、型号完全相同的红、黄、白三种颜色的袜子各8只。至少拿出( )只可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。
9．口袋里有6个黑球和4个白球，从中至少摸出( )个球，才能保证两种颜色的球都有；从中任意摸出一个球，是( )球的可能性比较大。
二、选择题（每题2分，共16分）
10．手工课上老师给学生发卡纸，有大、中、小三种，每人发一种，如果至少有15名学生拿到同一种纸，那么这个班至少有（ ）名学生。
A．42 B．43 C．44 D．45
11．5个苹果分给4个小朋友，总有一个小朋友至少分得（ ）个苹果。
A．1 B．2 C．3 D．4
12．把21支笔放在（ ）个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。
A．10 B．7 C．6 D．3
13．下列说法正确的有（ ）个。
①一个数的倍数一定比它的因数大。
②真分数都小于1，假分数都大于1。
③舞蹈小组有男生12人，女生18人。这些人当中，至少有3人在同一个月过生日。
④抛一枚硬币，前5次都是正面朝上，第6次一定是反面朝上。
A．1 B．2 C．3 D．4
14．下面说法错误的是（ ）。
A．三条线段分别长5dm、13dm、6dm，这三条线段不能围成三角形。
B．掷一个骰子，连续8次掷得奇数，第9次可能掷得偶数。
C．26本书要放进5个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少要放6本。
D．任何两个质数加起来的和，一定是合数。
15．某小学的学生中，年龄最大的是12岁，最小的是6岁，至少挑选几名学生，一定能找到两名年龄相同的学生？（ ）
A．6 B．7 C．8 D．18
16．把21支笔放在（ ）个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。
A．10 B．7 C．6 D．3
17．一个鱼缸里有很多条鱼，共有5个品种，至少捞出（ ）条鱼，才能保证有5条相同品种的鱼。
A．24 B．21 C．19 D．17
三、判断题（每题2分，共10分）
18．把13个球放到4个盒子里面，总有一个盒子至少有4个球。( )
19．我国的手机号码都是十一位数，在一个手机号码中至少有2个数字是相同的。( )
20．盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸9个球。( )
21．盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出4个球才能保证有两种颜色个数相同的球。( )
22．把红、黄、蓝、绿四种颜色的袜子各10只放到一个袋子里，至少要从中取出11只，才能保证取出一双颜色相同的袜子。( )
四、解答题（48分）
23．六（3）班有学生40人，如果要从3个候选人中选出班长，那么得票最多的候选人至少会得到多少票？（每人限投一票，候选人也参与投票）
24．某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
25．六年级有22名同学进行投篮训练，每人投3次。投中一次得1分，未投中得0分。至少有几名同学的成绩相同？
26．一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？
27．箱子里有黑、白两种颜色的袜子各10只。
（1）至少摸出多少只，才能保证可以配2双袜子？
（2）至少摸出多少只，一定有1双白色袜子？
参考答案
题号 10 11 12 13 14 15 16 17
答案 B B A A D C A B
1．4
要保证“总有一个盘子里至少放几颗”，就要先考虑“平均分配时，每个盘子里放得尽量平均”的情况，再看剩余的珠子怎么分配。11颗玻璃珠放入3个盘子里，用除法计算平均分配的结果，再根据余数判断“至少数”。
11÷3＝3……2（颗）
剩余的2颗玻璃珠放入2个盘子中：
3＋1＝4（颗）
2． 2 5
用十一位数的总位数11除以数字的种类数10，根据商和余数，用商加1得到至少相同数字的个数。
用学生总人数49除以属相的种类数12，根据商和余数，用商加1得到至少属相相同的学生人数。
11÷10＝1……1
1＋1＝2（个）
一个十一位数，至少有2个数位上的数字相同。
49÷12＝4……1
4＋1＝5（名）
六（1）班49名学生中，至少有5名学生的属相相同。
3． 5 4
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。
考虑最倒霉的情况，取出的前3个都是颜色不同的球，再取1个，一定能保证取到两个颜色相同的球。
将49名同学看成放在抽屉里的物体，将12个属相看成抽屉。
49÷12＝4（名）……1（名）
4＋1＝5（名）
至少有5名学生的属相相同。
3＋1＝4（个）
至少要取出4个球。
4．11
把大正三角形分割成若干个边长为的小正三角形（相当于抽屉），再根据抽屉原理：如果抽屉数小于点数，那么至少有一个抽屉里存在2个点，这两个点的距离就不会超过小正三角形的边长。需要找到最大的整数n，使得分割出的小正三角形数量小于122，这样放入122个点时，必然有2个点在同一个小正三角形内，距离不大于。
1．分割大正三角形
把边长为1的正三角形的每条边n等分，然后连接各边的等分点，作平行于各边的线段，就能把大正三角形分成若干个边长为的小正三角形。小正三角形的总数为：1＋3＋5＋＋（2n－1）＝（这是首项为1、末项为2n－1的等差数列求和）。
2． 应用抽屉原理
要保证放入122个点后，必有2个点的距离不大于，就需要让小正三角形的个数小于122。
即：。
3．求n的最大值
因为，，所以满足条件的最大整数n是11。
则的最大值为11。
5．4
把8个盒子中分别放入1、2、3、…、8个乒乓球，共用去乒乓球：（1＋8）×8÷2＝36（个），还剩下乒乓球：62－36＝26（个），然后每个盒子继续放入3个，此时还剩余乒乓球：26－3×8＝2（个），再把这2个乒乓球放入个数最多的盒子中，此时即可求出8个盒子放的乒乓球个数都不相同，且放乒乓球个数最少的盒子里最多有多少个。
把8个盒子中分别放入1、2、3、…、8个乒乓球后，还剩下乒乓球：
62－（1＋8）×8÷2
＝62－9×8÷2
＝62－72÷2
＝62－36
＝26（个）
然后每个盒子继续放入3个，此时还剩余乒乓球：
26－3×8
＝26－24
＝2（个）
再把这2个乒乓球放入个数最多的盒子中，此时放乒乓球个数最少的盒子里最多有乒乓球：
1＋3＝4（个）
因此，放乒乓球个数最少的盒子里最多有乒乓球4个。
将62个乒乓球放在8个空盒子里，8个盒子放的乒乓球个数都不相同，那么放乒乓球个数最少的盒子里最多有4个乒乓球。
解答本题的关键是应先使每个盒子的球数尽可能接近，再根据条件进行调整。
6．4
已知男生23人，女生23人，那么班级总人数为23＋23＝46人；一年有12个月，将46个人放进12个月这些 “抽屉” 里，进行平均分：46÷12＝3（人）……10（人），这意味着每个月先放3个人后，还剩余10个人，剩余的10个人无论怎么分配到12个月中，都会使得至少有一个月里的人数增加1人，所以至少有3＋1＝4人的生日在同一个月。
（23＋23）÷12
＝46÷12
＝3（人）……10（人）
3＋1＝4（人）
所以至少有4人的生日在同一个月。
7． 5 4
第一问要求“三种颜色都有”，需考虑最不利情况，即取出了其中两种颜色的所有球，仍未凑齐三种颜色，此时再取1个即可满足条件。第二问要求“有两个颜色相同”，需考虑最不利情况，即每种颜色各取了1个，仍未出现颜色相同，此时再取1个即可满足条件。
2＋2＋1
＝4＋1
＝5（个）
至少应取出5个能保证取出的玻璃球中三种颜色都有。
3＋1＝4（个）
至少应取出4个能保证取出的玻璃球中有两个颜色相同。
8．11
要保证凑成两双颜色不相同的袜子，需要考虑最不利情况，先取出8只颜色相同的袜子（如：红色），剩下两种颜色的袜子再各取1只（黄色和白色），此时再任意取出1只袜子（黄色或白色）一定有两双颜色不相同的袜子。
8＋1＋1＋1＝11（只）
分析可知，至少拿出11只可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。
9． 7 黑
考虑最不利的情况，把数量多的同一种颜色的球全部摸完，再摸1个就一定是另一种颜色，据此解答第一空；哪种球的数量多，摸到的可能性就比较大，据此解答第二空。
6＋1＝7（个）
所以从中至少摸出7个球，才能保证两种颜色的球都有；
6＞4，所以从中任意摸出一个球，是黑球的可能性比较大。
10．B
本题要按最坏的情况考虑，每种卡纸被14名学生拿到，只要再发一张，就可以出现至少有15名学生拿到同一种纸。
143＋1
＝42＋1
＝43（名）
11．B
把5个苹果分给4个小朋友，即将这4个小朋友当作4个抽屉，将这5个苹果放入这四个抽屉，利用抽屉原理最差情况：要使每个人分到的苹果最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分即可。
5÷4＝1（个）……1（个）
1＋1＝2（个）
所以总有一个小朋友至少分得2个苹果。
12．A
根据最不利原则，先确保每个笔筒里放2支笔。用总数减去1，算出剩下的笔的数量，用剩下的数量除以2即可。
（21－1）÷2
＝20÷2
＝10（个）
把21支笔放在10个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。
故答案为：A
13．A
①一个数最小的倍数是它本身；最大的因数是它本身；因此一个数的倍数可能与它的因数相等。
②真分数是分子小于分母的分数，所以真分数都小于1；假分数是分子大于或等于分母的分数，所以假分数大于或等于1，并非都大于1。
③一年有12个月，那么把这12个月看作12个抽屉，要求至少有多少人在同一个月过生日，可以考虑最差情况：把12＋18＝30（人）尽量平均分配在12个抽屉中，即30÷12＝2……6，这意味着平均每个月有2人过生日的话，还剩余6人，剩余的6人不论放到哪个月里，都至少有2＋1＝3人在同一个月过生日。
④抛一枚硬币，每次抛硬币正面朝上和反面朝上的可能性相同，前5次的结果不会影响第6次的结果，第6次可能是正面朝上，也可能是反面朝上。
①一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，例如6的最大因数是6，最小倍数也是6，所以一个数的倍数可能与它的因数相等。所以原题说法错误。
②根据真分数和假分数的认识，真分数都小于1，假分数都大于或等于1。所以原题说法错误。
③（12＋18）÷12
＝30÷12
＝2（人）……6（人）
2＋1＝3（人）
因此至少有3人在同一个月过生日。所以本题说法正确。
④抛一枚硬币，前5次都是正面朝上，抛第6次可能正面朝上，也可能反面朝上。所以原题说法错误。
综上，说法正确的有1个。
故答案为：A
14．D
三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边；
骰子上的数有奇数和偶数，掷出后出现的可能性都有；
根据抽屉原理，把26本书放进5个抽屉，26÷5＝5（本）……1（本），这意味着平均每个抽屉放5本后，还剩1本，剩下的这1本无论放进哪个抽屉，都会使得至少有一个抽屉里要放5＋1＝6本书；
两个质数相加，和可能是质数，也可能是合数。据此逐一分析。
A．对于长度为5dm、13dm、6dm的三条线段，5＋6＝11，11＜13，不满足三角形三边关系，所以这三条线段不能围成三角形，该选项正确；
B．掷骰子时，每次掷得奇数或偶数都是随机事件，具有不确定性，因此连续8次掷得奇数，第9次仍有可能掷得偶数，该选项正确；
C．26÷5＝5（本）……1（本），因此26本书要放进5个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少要放6本，该选项正确；
D．例如2和3都是质数，2＋3＝5，5也是质数，原题说法错误。
故答案为：D
15．C
年龄范围6岁到12岁，共有7种不同的整数年龄。为了保证一定有两名学生年龄相同，需要考虑最不利的情况，即每种年龄各选出一名学生，在此基础上再增加一名学生，就能满足条件。
12－6＋1
＝6＋1
＝7（种）
7＋1＝8（名）
16．A
根据最不利原则，先确保每个笔筒里放2支笔。用总数减去1，算出剩下的笔的数量，用剩下的数量除以2即可。
（21－1）÷2
＝20÷2
＝10（个）
把21支笔放在10个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。
17．B
要保证有5条相同品种的鱼，最不利的情况是每个品种的鱼都捞出了4条。此时无论再捞出1条哪种品种的鱼，都会出现有一个品种的鱼达到5条。共有5个品种，每个品种捞出4条，总数为：（条） 在最不利情况的基础上，再捞出1条鱼，即可保证有5条相同品种的鱼：（条）。
A.不符合分析，选项错误；
B.符合分析21条，选项正确；
C.不符合分析，选项错误；
D.不符合分析，选项错误；
故答案为：B
需先考虑最不利情况（每个品种捞出4条） ，再用该总数加1得到结果。
18．
√
鸽巢问题（抽屉原理）：用球数除以盒子数（球数＞盒子数），求出商和余数。若有余数，则至少有一个盒子里的球数等于商加1。
假设每个盒子里的球数尽可能平均。，商是 3，余数是 1，表示平均每个盒子放3个球后，还剩余1个球。无论将剩余的1个球放入哪一个盒子中，该盒子的球数将变为：（个），所以总有一个盒子至少有4个球。
故答案为：√
19．√
手机号码的位数相当于物体数，手机号码有11位，即物体数是11，可用数字的个数相当于抽屉数，可用的数字有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，共 10 个，即抽屉数为10。根据抽屉原理的计算方法：物体数÷抽屉数＝商……余数，至少数＝商＋1。
11÷10＝1……1
1＋1＝2（个）
所以，在一个手机号码中至少有 2 个数字是相同的。
故答案为：√
20．×
考虑最倒霉的情况，摸出的前3个都是不同颜色的球，再摸3个还是不同颜色的球，此时每种颜色各2个球，再摸一个，无论什么颜色，都可保证有3个同色的，据此分析。
3×2＋1
＝6＋1
＝7（个）
盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸7个球，所以原题说法错误。
故答案为：×
21．×
由于盒子里共有红、蓝、黄色小球各2个，如果一次取4个，最差情况为把其中1种颜色的球取完，又取了另外两种颜色的球各一个，此时没有两种颜色个数相同的球，所以应再取1个就能保证有两种颜色个数相同的球。据此解答。
4＋1＝5
则盒子里有红、蓝、黄色小球各2个，一次至少要摸出5个球才能保证有两种颜色个数相同的球。原题干说法错误。
故答案为：×
22．×
根据鸽巢原理，考虑最不利情况：前4次各取不同颜色的袜子各1只。此时再取1只，无论颜色如何，必然与之前某颜色重复，据此分析。
最不利情况下，取出4只袜子各颜色不同（红、黄、蓝、绿各1只）。此时再取1只，无论颜色为何，必与已取的某颜色重复。因此至少需取出4＋1＝5（只）。题目中“至少取11只”的说法错误。
故答案为：×
23．14票
根据抽屉原理，将40张选票平均分配给3个候选人，每个候选人先得到13票，余下1票无论投给谁，得票最多的候选人至少会得到14票。
总票数为40票，候选人3个。
计算平均分配：
余数1票需分配给其中一位候选人，因此得票最多的候选人至少会得到：（票）
答：得票最多的候选人至少会得到14票。
24．8名
首先考虑买书的几种可能性，买一本、二本、三本共有7种类型：
买一本的：有语文、数学、外语3种。
买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本的：有语文、数学和外语1种。
把这7种类型看成7个抽屉，去的人数看作物品。要保证有抽屉里有2人，那么去的人数至少是抽屉数加1。
抽屉：3＋3＋1＝7（个）
学生：7＋1＝8（名）
答：至少要去8名学生。
25．
6名
每人投3次，投中一次得1分，未投中得0分，可能得分有四种情况：①三次都投中，计1＋1＋1＝3分；②两次投中，一次不投中：计1＋1＋0＝2分；③一次投中，两次不投中：计1＋0＋0＝1分；④三次都不投中，计0分；现在有22名同学，相当于22个“元素”要放进这4个“抽屉”里，用22除以4，得到22÷4＝5……2，这意味着平均每个“抽屉”放5个“元素”后，还剩下2个“元素”。根据抽屉原理，剩下的这2个“元素”无论放到哪个“抽屉”里，都会使得至少有一个“抽屉”里有5＋1＝6个“元素”，也就是至少有6名同学的成绩相同。
得分可能为3分、2分、1分、0分，共4种情况。
22÷4＝5（名）……2（名）
5＋1＝6（名）
答：至少有6名同学的成绩相同。
26．7顶
这是典型的 “抽屉原理” 问题，我们用最不利原则来分析： 最倒霉的情况，先把一种颜色的帽子全部摸完。 袋子里每种颜色各有6顶，假设先摸出的全是红色（或全是黑色），共6顶。 保证有两种颜色：此时再摸1顶，必然是另一种颜色。 因此，至少需要摸顶，才能保证有2种颜色的帽子。
（顶）
答：至少摸出7顶帽子才能保证有2种颜色的帽子。
27．（1）5只
（2）12只
从最不利的情况考虑：黑、白两种颜色的袜子，第一次摸出的是黑色的袜子、第二次摸出的是白色的袜子，第三次无论摸出的是什么颜色，都可以和前两次中的一只配成一双，假设第三次摸出一只白色袜子，那么还剩一只黑色袜子，最不利情况下，第四次摸出后可能有一只黑色袜子和三只白色袜子，第五次摸出任意颜色都能配成第二双袜子，所以至少要摸出5只，才能保证可以配2双袜子。
从最不利的情况考虑：前10次都摸出了黑色的袜子，第11次，第12次只能摸出白色袜子，所以至少摸出12只，一定有1双白色袜子。
（只）
答：至少摸出5只，才能保证可以配2双袜子。
（只）
答：至少摸出12只，一定有1双白色袜子。
从最不利的情况进行考虑。

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