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(共6张PPT)
人教版六年级下册
第五单元数学广角（鸽巢问题）单元测试·培优卷
试卷分析
三、知识点分布
一、填空题 1 0.65 鸽巢问题初步
2 0.85 鸽巢问题初步
3 0.65 鸽巢问题进阶
4 0.65 鸽巢问题进阶
5 0.65 最不利原则；抽屉原理
6 0.75 判断事件发生的可能性的大小；最不利原则
7 0.65 最不利原则；鸽巢问题初步
8 0.65 判断事件发生的可能性的大小；最不利原则
三、知识点分布
二、选择题 9 0.65 小数的近似数；质数与合数的认识；圆柱与圆锥体积的关系；鸽巢问题初步
10 0.85 鸽巢问题初步
11 0.4 鸽巢问题进阶
12 0.65 鸽巢问题进阶
13 0.65 最不利原则
14 0.65 最不利原则；奇数与偶数的认识
15 0.65 判断事件发生的可能性的大小；最不利原则
16 0.65 最不利原则
三、知识点分布
三、判断题 17 0.65 鸽巢问题初步
18 0.4 抽屉原理；鸽巢问题初步
19 0.65 鸽巢问题进阶
20 0.65 鸽巢问题进阶
21 0.85 最不利原则
三、知识点分布
四、解答题 22 0.65 鸽巢问题初步
23 0.65 鸽巢问题初步
24 0.65 鸽巢问题进阶
25 0.65 最不利原则；抽屉原理
26 0.65 鸽巢问题初步保密★启用前
2025-2026学年六年级数学下学期单元测试卷
第五单元 数学广角（鸽巢问题）单元测试·培优卷
（ 全卷满分100 分，考试时间90 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、填空题（每空2分，共32分）
1．六（1）班有27名男生和24名女生，他们中至少有( )人的生日在同一个月。
2．随意找13位同学，他们中至少有( )人的生肖相同。这是经典的“鸽巢问题”，题中( )是“鸽”，( )是“巢”。
3．杭州亚运会成为亚运史上规模最大、项目最多、覆盖面最广的一届运动会。中国一共派出了886名运动员参赛，这些运动员中至少有________人是同一个月生日。
4．把8本书放进( )个抽屉里，必定有一个抽屉至少放了2本书；把7本书放进( )个抽屉里，必定有一个抽屉至少放了3本书。
5．一个袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出( )个：要保证取出的玻璃球中两个是同色的，至少要取出( )个。
6．一个盒子里有10个红球、6个黄球和4个黑球，它们除颜色外大小形状都相同。任意摸出1个，摸到( )球的可能性最小；摸出11个时，其中一定有( )球。
7．盒子中有15个黄球、10个红球、8个黑球。
(1)至少摸出( )个球，才能保证有2个球的颜色相同。
(2)至少摸出( )个球，才能保证有2个不同颜色的球。
(3)至少摸出( )个球，才能保证3种颜色的球都有。
8．一个盒子里有3个白球，2个红球和5个黄球，从盒子中任意摸出1个球，有________种可能的结果；一次最少摸出________个球，才能保证至少有2个球的颜色相同。
二、选择题（每题2分，共16分）
9．下面说法中，正确的有（ ）。
①一个两位小数的近似数是3.0，这个两位小数最大是2.99；
②一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，不是质数就是合数；
③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm；
④把26个苹果放进4个篮子中，其中至少有一个篮子中放入了8个苹果。
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．某学校六年级学生共有381人，至少有（ ）人同一个月出生。
A．30 B．31 C．32 D．33
11．密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（ ）粒。
A．6 B．9 C．12 D．18
12．一群鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进3只鸽子，这群鸽子至少（ ）。
A．12 B．11 C．10 D．9
13．袋子里有5个黄球，3个黑球，2个白球，从中任意拿出6个，至少有1个是（ ）。
A．黄球 B．黑球 C．白球 D．红球
14．从1~10这10个自然数中，至少要“取出”（ ）个不同的数，才能保证其中一定有1个数是偶数。
A．5 B．6 C．7 D．8
15．“鲁班球”的核心源于中国古代建筑中首创的——榫卯结构，相传是鲁班发明的，并由此得名。袋中有形状、大小完全相同的红色鲁班球7个，蓝色鲁班球5个，白色鲁班球3个，每次任意摸一个，至少要摸（ ）次，才能确保摸到白色鲁班球。
A．5 B．12 C．13 D．15
16．盒子中有大小相同的5个红球，2个白球，3个黄球，从中任意拿出6个，至少有一个是（ ）。
A．红球 B．白球 C．黄球 D．无法确定
三、判断题（每题2分，共10分）
17．把13个球放到4个盒子里面，总有一个盒子至少有4个球。( )
18．一所学校有400人，那么至少有3人同一天出生。( )
19．有50名学生到图书角借书，图书角有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借三本不同类型的书，最少可借一本，则至少有4名学生借的书的类型相同。( )
20．一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。( )
21．把10本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进4本书。( )
四、解答题（42分）
22．古时候，某地渔民出海打渔，相互之间用举红、白两种旗子来传递信号，可以举一面旗子，也可以先后举两面旗子，不举旗子不传递信号；一次出海打渔过程中，某船向其他船一共传递了13次信号，至少有几次传递的信号是相同的？如果传递了23次信号呢？
23．小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？
24．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
25．一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各12条，从中任意捞鱼。
（1）至少要捞出多少条，才能保证有3条花色相同的金鱼？
（2）至少要捞出多少条，才能保证有3种花色不同的金鱼？
26．按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？
参考答案
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 D C B D A B C A
1．5
先用男生人数加女生人数求出班级总人数，一年有12个月，再用总人数除以12个月，得到商和余数；用商加1，就是至少有多少人的生日在同一个月。
27＋24＝51（人）
51÷12＝4（人）……3（人）
4＋1＝5（人）
2． 2 13位同学 12种生肖
生肖一共有12种，相当于12个“巢”；13位同学相当于13只“鸽”，把13只“鸽”放进12个“巢”里，总有一个“巢”里至少有2只“鸽”，即至少有2人的生肖相同。
生肖一共有12种，共有13位同学。
13÷12＝1（人）……1（人）
1＋1＝2（人）
他们中至少有2人的生肖相同。这是经典的“鸽巢问题”，题中13位同学是“鸽”，12种生肖是“巢”。
3．74
一年有12个月，把12个月看作12个“抽屉”， 886名运动员相当于要放进这12个“抽屉”里的“物品”，先用运动员总数886除以月数12，即886÷12＝73（人）……10（人），这里73表示如果平均分配，每个月分配到73个人，余数是10表示分完后还剩下10个人。剩下的这10人，无论放到12个月中的哪一个月，都会使得那个月的人数至少（73＋1）人，即这些运动员中至少有（73＋1）人是同一个月生日，据此解答。
一年有12个月。
886÷12＝73（人）……10（人）
73＋1＝74（人）
即这些运动员中至少有74人是同一个月生日。
4． 7 3
从最不利的情况分析，只有一个抽屉里放了2本书，其它每个抽屉里都放了1本书，抽屉数量＝（被分放物体的数量－2）÷其它每个抽屉里放的物体数量＋1；
从最不利的情况分析，只有一个抽屉里放了3本书，其它每个抽屉里都放了2本书，抽屉数量＝（被分放物体的数量－3）÷其它每个抽屉里放的物体数量＋1，据此解答。
（8－2）÷1＋1
＝6÷1＋1
＝6＋1
＝7（个）
（7－3）÷2＋1
＝4÷2＋1
＝2＋1
＝3（个）
所以，把8本书放进7个抽屉里，必定有一个抽屉至少放了2本书；把7本书放进3个抽屉里，必定有一个抽屉至少放了3本书。
本题主要考查利用抽屉原理解决实际问题，从最不利的情况分析问题是解答题目的关键。
5． 5 4
第①空：先取最不利情况，把两种颜色全部取完，再取1个必是第三种。
第②空：先每种颜色各取1个，再取1个一定和前面某一个同色。
第①空：保证三种颜色都有：2＋2＋1＝5（个）
第②空：保证两个同色：3＋1＝4（个）
6．
黑
红
①数量越多摸到的可能性就越大，数量越少摸到的可能性就越小，数量相等摸到的可能性相同。
②从最坏情况考虑：先摸完黄球和黑球，才能摸出红球。
因为4＜6＜10，即黑球最少，所以任意摸出1个，摸到黑球的可能性最小；
黄球和黑球共：6＋4＝10（个）
11＞10
所以当黄球和黑球全部先摸出，第11个摸出的一定是红球。
7．(1)4
(2)16
(3)26
（1）根据题意可知，盒子里有3种不同颜色的球，假设前3次摸出的球颜色都不一样，则至少摸出（）个球，才能保证有2个颜色相同的球；
（2）根据题意可知，盒子里有3种不同颜色的球，数量最多的是黄球，假设前15次摸出的都是黄球，则至少摸出（）个球，才能保证有2个颜色不同的球；
（3）根据题意可知，盒子里有3种不同颜色的球，黄球有15个，红球有10个，假设前25次摸出的都是黄球和红球，则至少摸出（）个球，才能保证3种颜色的球都有。
（1）（个）
至少摸出4个球，才能保证有2个球的颜色相同。
（2）（个）
至少摸出16个球，才能保证有2个不同颜色的球。
（3）（个）
至少摸出26个球，才能保证3种颜色的球都有。
8． 3 4
从盒子中任意摸出1个球，可能是白球、红球或黄球，所以有3种可能的结果；求至少摸出几个球，就可保证至少有两个球的颜色相同，先每个颜色都拿一个，应摸出3个球，再摸出一个，就会有2个球的颜色相同，所以至少应摸出（3＋1）个球。
一个盒子里有3个白球，2个红球和5个黄球，从盒子中任意摸出1个球，有3种可能的结果；一次最少摸出4个球，才能保证至少有2个球的颜色相同。
9．D
①根据四舍五入规则，“四舍”时原数最大。据此求出满足小数的最大值，和题目比较。
②自然数（0除外）按能否被2整除分为奇数和偶数；按因数个数分为质数、合数和1，其中1既不是质数也不是合数。
③当圆柱和圆锥体积相等、底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。
④先将26个苹果平均放入4个篮子，再通过分配余下的苹果，判断其中一个篮子中苹果数量。
①要使两位小数四舍五入后为3.0，其十分位为0，百分位最大为4，所以这个两位小数最大是3.04，而非2.99。因此，说法①错误。
②因为1既不是质数也不是合数，所以“不是质数就是合数”的说法错误。
③6×3＝18cm，因此，说法③正确。
④26÷4＝6（个）……2（个），即给每个篮子放6个后还余2个，余下的2个苹果无论放进哪个篮子，至少有一个篮子有6＋1＝7个苹果，而非8个。因此，说法④错误。
综上，只有说法③正确，即有1个说法正确。
10．C
一年12个月，根据抽屉原理：至少数＝物品数÷抽屉数的商＋1，由此进行计算即可。
381÷12＝31……9
即平均每个月31人出生，还剩9人，这9人无论放在哪个月，都会让那个月人数至少增加1。
31＋1＝32（人）
11．B
先用60除以15求出一共有4种颜色的珠子；把“摸珠子问题”与“鸽巢问题”联系起来，即把4种颜色看成4个鸽巢（同种颜色就是同一个鸽巢），把要摸出的珠子看成分放的物体。由“鸽巢原理”可推导出，（至少数－1）×鸽巢数＋1＝物体数，此题中至少数是3粒，鸽巢数是4个，据此可求出要摸出的珠子的粒数。
颜色数（鸽巢数）：60÷15＝4（种）
珠子的最少粒数：（3－1）×4＋1
＝2×4＋1
＝8＋1
＝9（粒）
所以至少要取出9粒。
故答案为：B
此题考查了应用“鸽巢原理”解决实际问题。把实际问题转化成“鸽巢问题”关键要弄清“鸽巢”（“鸽巢是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。
12．D
考虑最不利的情况，4个鸽笼中，有一个鸽笼有3只鸽子，其余鸽笼都只有2只鸽子，即可计算出至少有多少只鸽子。
4×2＋1
＝8＋1
＝9（只）
故答案为：D
本题属于典型的抽屉原理问题，本题要运用逆向思维倒推解决问题。
13．A
这道题考查抽屉原理（最不利原则），先找出除黄球外其他颜色球的最大总数，模拟最倒霉的拿球情况（先把非黄球拿光），用要拿的总球数（6个）减去这个最大总数，若结果大于等于1，说明剩下的球只能是黄球，从而得出至少有1个黄球的结论。
根据分析：
统计各颜色球的数量，黄球5个，黑球3个，白球2个。计算非黄球的最大总数(个)，假设先把所有黑球和白球都拿出来，这是能拿到的最多非黄球数量，一共拿了5个。需要拿6个球，已经拿了5个非黄球，还需要再拿(个)，此时袋子里只剩下黄球，所以这1个球必然是黄球。得出结论从中任意拿出6个，至少有1个是黄球。
故答案为：A
14．B
1~10的自然数中，奇数为1、3、5、7、9，共5个。要保证取出的数中一定有偶数，需考虑最坏情况： 先取出所有的奇数（5个）。此时再取1个数，必定是偶数。因此至少需取的数的个数为奇数的个数加1。据此解答。
（个）
从1~10这10个自然数中，至少要“取出”6个不同的数，才能保证其中一定有1个数是偶数。
故答案为：B
15．C
要确保摸到白色鲁班球，我们需要考虑最不利的情况，也就是先把红色和蓝色的鲁班球全部摸完，然后再摸一个就一定是白色的。
先摸完红色和蓝色的球一共需要摸7＋5＝12（次）
再摸1次，就一定能摸到白色鲁班球。
12＋1＝13（次）
至少要摸13次，才能确保摸到白色鲁班球。
故答案为：C
16．A
尽可能多地拿非目标颜色的球，若剩余数量不足则必须拿目标颜色。红球有5个，其他颜色共5个，拿6个时最多拿5个非红球，因此至少有一个红球。
先考虑非红球的最大数量：白球有2个，黄球有3个，非红球总共2＋3＝5个。现在要拿6个球，即使把所有非红球（5个）都拿完，还需再拿1个，这个球只能是红球。
所以从中任意拿出6个，至少有一个是红球。
故答案为：A
17．√
把13个球放到4个盒子里，尽量平均分，每个盒子放3个，多出的1个球总要放进其中一个盒子，所以总有一个盒子至少有4个球。
13÷4＝3（个）1（个）
3＋1＝4（个）
故答案为：√
18．×
“同一天出生”指同一年中的同一天，一年最多有365天（不考虑闰年）。
学校有400人，根据鸽巢原理，，因此至少有一个生日有至少2人，但无法保证有至少3人。据此解答。
一所学校有400人，那么至少有2人同一天出生。原题错误；
故答案为：×
此题考查了利用鸽巢原理解决实际问题的方法的灵活应用。
19．√
先找出所有不同的借书类型，将其看作“抽屉”，学生看作“物品”，然后通过计算来判断是否至少有4名学生借的书类型相同。
借一本：A、B、C、D，
借两本：AB、AC、AD、BC、BD、CD，
借三本：ABC、ABD、ACD、BCD，
一共有4＋6＋4＝14（种）情况，
50÷14＝3（名）……8（名）
3＋1＝4（名）
所以至少有4名学生借的书的类型相同。
原说法正确。
故答案为：√
20．√
假设先从袋子里拿出的5个球都是黄球，那么袋子里只剩下红球，此时任意从袋子里取出一个球，一定是红球，至少拿出6个球才能保证一定有红球，如果每次往外拿3个球，至少要拿2次，据此解答。
5＋1＝6（个）
6÷3＝2（次）
所以，一个袋子中装有只有颜色不同的10个红球和5个黄球，从中每次往外拿3个，至少拿2次，才能保证一定有红球。
故答案为：√
本题主要考查抽屉问题，从最差情况分析问题是解答题目的关键。
21．√
将 10 本书看作物体数，3个抽屉看作抽屉数，从最不利情况考虑，每个抽屉先放3个，共需9本书，余1本书无论放在哪个抽屉里，总有一个抽屉里有3＋1＝4本，据此解答。
10÷3＝3……1
3＋1＝4（本）
把10本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进4本书。
故答案为：√
22．4次；6次
这个船员可以举1白、1红、先红后白、先白后红，共4种举旗传递信号的方法。
第一问：用传递信号的总次数除以4，可知每种信号一定各有3次，那么剩下的1次无论与哪一种信号相同，都至少有4次传递的信号是相同的。用同样的方法解答第二问即可。
13÷4＝3（组）……1（次）
3＋1＝4（次）
23÷4＝5（组）……3（次）
5＋1＝6（次）
答：如果传递了13次，至少有4次传递的信号是相同的；如果传递了23次，至少有6次传递的信号相同。
23．见详解
这是一道典型的抽屉原理的题目。一副扑克牌一共有54张，去掉大小王就是52张，扑克牌除了大小王以外有4种花色， 也就是将这4种花色看成4个抽屉，9个人每人取1张牌就是9张，将这9张牌放入这4个抽屉中，尽量平均分，多出的1张总要放进其中的一个抽屉里。
据分析：
9÷4＝2（张）……1（张）
2＋1＝3（张）
答：每个花色已经有2张了，多出的1张牌肯定是4种花色的任意一种，则9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。
24．5人
本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。
52÷11＝4（人）……8（人）
4＋1＝5（人）
答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。
此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。
25．（1）9条
（2）25条
（1）保证有 3 条花色相同的金鱼，已知有 4 种花色，每种 12 条。 最不利情况：每种花色都先捞到 2 条，此时捞取的总数为条。 再捞 1 条，无论这条是什么花色，都会出现有 1 种花色达到 3 条。 因此至少捞出条；
（2）保证有 3 种花色不同的金鱼，最不利情况：先把其中 2 种花色的金鱼全部捞完，此时捞取的总数为条。 再捞 1 条，这条必然是剩下 2 种花色中的一种，就会凑齐 3 种不同花色。 因此至少捞出条。
（1）（条）
答：至少要捞出9条，才能保证有3条花色相同的金鱼。
（2）（条）
答：至少要捞出25条，才能保证有3种花色不同的金鱼。
26．37个
把同学看作物品，星座看作抽屉，要保证至少有4个人在同一个抽屉，那么可以每个抽屉先放3个人，再在某一个抽屉中多放一个人。
（4－1）×12＋1
＝3×12＋1
＝36＋1
＝37（个）
答：至少找37个同学，才能保证有四个人是同一个星座。

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