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2026届山东日照市高三模拟考试数学试题
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（ ）
A．表示x与y之间的函数关系 B．表示x与y之间的不确定关系
C．反映x与y之间的真实关系 D．反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合
3．已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若，，则实数、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
6．将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
二、多选题
9．设为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．函数的最大值为1
D．方程在上有5个实数根
11．对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（ ）
A．存在公差不为0的等差数列具有性质
B．以1为首项，为公比的等比数列具有性质
C．若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质
D．若数列和均具有性质，则数列也具有性质
三、填空题
12．已知分别为的三个内角的对边，若，，则角__________________．
13．已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________.
14．已知正实数a，b满足，则______________．
四、解答题
15．如图1，在边长为2的正方形中，分别为线段的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2，记二面角的平面角为．
(1)若，求三棱柱的体积；
(2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值．
16．已知数列的前项和为，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
17．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．
(1)当时，
（i）求甲答对某道题的概率；
（ii）甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)已知乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．
18．已知抛物线，点在抛物线上．
(1)证明：以点为切点的的切线的斜率为；
(2)过外一点（不在轴上）作的切线AB，AC，切点分别为点B，C，作平行于BC的切线，切点为点，点分别是切线与AB，AC的交点，设BC的中点为（如图所示）．
（i）证明：A，D，E三点共线；
（ii）过外一点的两条切线及第三条切线（第三条切线平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．设面积为，第1次由点作切线三角形，第2次分别由点作切线三角形，并依此方法重复次，记所得所有“切线三角形”的面积之和为．判断与的大小关系并证明．
19．已知函数定义域为．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”．
(1)求函数在上的最大“凸点”；
(2)若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围；
(3)设，且．证明：在上的“凸点”个数不小于．
参考答案
1．D
【详解】集合是函数的定义域，根据对数函数的性质，真数必须大于0，
因此：，即，
由交集的定义可知.
2．D
【详解】根据线性回归方程的概念可知，回归方程反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合.
3．C
【详解】由题可得，
所以2是函数的周期，且的图象关于直线对称.
当时，，
则.
4．A
【详解】当时，，，
此时，，充分性成立；
当时，，即，解得或，推不出，必要性不成立.
综上，“”是“”的充分不必要条件.
5．D
【详解】由题意可得，，可得，，
因为对数函数为上的增函数，则，
幂函数在上为增函数，则，
故.
故选：D.
6．A
【详解】设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α，
又为锐角，其中，所以，则，
即，故直线方程为．
故选：A
7．C
【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为．
设，则，
由，解得或，
∴，．
又为双曲线的左顶点，则，
∴，，，
在中，，由余弦定理得，
即，
即，
则，所以，则，
即，所以
∴．
故选：C.
8．C
【详解】将正四面体补全为正方体，则正方体棱长为4，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设，则
，
所以，即点构成的平面截正四面体所得的截面为正方形，边长为，
故截面周长为.
9．AC
【详解】设复数，则共轭复数，
对于A：若，则虚部，
此时，，故，A正确；
对于B：取，则，但，B错误；
对于C：由得，复数范围内解得，C正确；
对于D：对，化简得，故，D错误.
10．ABD
【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到：
，
显然的最小正周期为，则长度是的半个最小正周期，
又是的一个单调递增区间，则，
即有，，解得，，
而，解得，于是，
对于A，函数的最小正周期，A正确；
对于B，由，得，函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，B正确；
对于C，，
则，
因此函数的最大值为，C错误；
对于D，对方程，即 ，
得或，
当时，，
，且有两个解，
所以方程在上有5个实数根，D正确.
11．BCD
【详解】设，，
对于A：若是公差的等差数列，则 ，因此 ，
当时， ，不存在满足条件的，A错误；
对于B：等比数列的通项公式为， ，则： ，
， 右侧为常数，取即满足条件，B正确；
对于C：若 具有性质，则存在，对任意有，，
对由三角不等式放缩：
，
存在常数 满足条件，C正确；
对于D：若 都具有性质，则二者一定有界：
， （为常数），
对 的差放缩 ，
求和得：，右侧为常数，满足性质，D正确.
12．/
【详解】在中，因为，，
所以由正弦定理得，
又，所以或，
在中，由，所以，所以.
13．
【详解】根据题意设方程的两虚根为，，为实数，
方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴，
又是等边三角形，高为2，则，
解得，则；
则.
故答案为．
14．
【详解】 设 ，求导得 ，
因此：在单调递减，在 单调递增，最小值为 ，
原等式右边整理为 ，求导得 ，
因此：在 单调递增，在 单调递减，最大值为 ，
原等式即为，而 ，，等号成立当且仅当： ，
故 .
15．(1)1
(2)
【详解】（1）由折叠性质可知：，，
因此 就是二面角的平面角，即 ，
三棱柱为直三棱柱，
原正方形边长为2，为中点，故， .
当 时，，，
，侧棱长为高，
因此三棱柱的体积 .
（2）建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，垂直平面向上为轴，
各点坐标为 ，，，，
设 ， ，，
由得 ，解得，即，
因此，
，，设平面的法向量为，
由，取得，
， ，
设直线与平面所成角为，由线面角公式得 .
16．(1)
(2)1176
【详解】（1）由等差数列性质得： ①，
当时，，解得，
当时，有： ②，
①-②得：，
整理得： ，
因此是首项为，公比为2的等比数列，
故.
（2）设，代入得： ，
因此，是首项为，公差为的等差数列，
令，即，得，为正整数，
故所有的都在中（小于，不在中），
要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足，
去掉的项为，共个（，故不在的前35项中），
故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和，
前35项和：，
去掉的5个的和：，
因此.
17．(1)（i）（ii）分布列为
0 1 2 3 4
期望值；
(2)
【详解】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，则.
（ii）由题意得，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
故
（2）由（1）知，设，
由题意得，，解得，
即，解得，故的最小值为
18．(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析.
【详解】（1），则以为切点的的切线斜率存在且不为，
设为.
由于该直线和有唯一公共点，
故联立后的方程组只有唯一解.
从而将第一个方程代入第二个，得到的方程只有唯一解.
此方程展开即为，从而，所以，
即以点为切点的的切线的斜率为.
（2）（i）设，则，
由（1）可知在处的切线分别是和，
联立两直线方程解得，
所以，由于不在轴上，所以，
故，
所以的纵坐标为，从而，
而，在外，在上，
所以直线的方程是.
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，
故三点共线.
（ii）.
设，由（i）可知，
由点确定的切线三角形的面积为，
即后一个切线三角形的面积是前一个切线三角形面积的，
由此继续下去，可得
.
19．(1)5
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）设 ，则 ，
当或时，，单调递增；
当时， ，单调递减，
又 ，所以在 上最大值为，
所以都满足，所以函数在上最大的“凸点”为5.
（2）因为函数 在上不存在“凸点”，所以在上恒成立，，令，
则 ,
当时，恒成立，故在上单调递减，则 ，
故在上单调递减，此时，符合要求.
当时，令，则，
（i），即时，，即在上单调递增，
则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去；
（ii）当，即时，恒成立，故在上单调递减，
则，故在上单调递减，此时，符合要求；
（iii）当，即时，若，，若，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则若需恒成立，有 ，解得，因为，
且，即时，符合要求，
综上所述.
（3）若在上的“凸点”个数为0，则，符合要求；
若在上的“凸点”个数为，令在上的“凸点”分别为
其中，，,
若，则若，由，则，即，
若，由题意，，，故，
即，又，故，符合要求；
若，则， ，
由，则，
若，即，则 ，
若，由题意，，且，
又，故 ，
即，，，，
即有 ，即，
由 ，故，又，故，
即在上的“凸点”个数不小于.

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