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(共32张PPT)
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
整合教材 夯实必备知识
精研考点 提升关键能力
整合教材 夯实必备知识
一、曲线运动(必修二第五章第1节)
1.速度方向:质点在某一点的速度方向,沿曲线在这一点的_____方向,如
图所示。
2.运动性质:质点在曲线运动中速度的方向时刻改变,所以曲线运动一定
是_____运动。
速度一定变,加速度不一定变
切线
变速
3.曲线运动的条件:
动力学 角度 物体所受合力方向与它的速度方向_____同一直线上
运动学 角度 物体的加速度方向与速度方向_____同一直线上
不在
不在
二、运动的合成与分解(必修二第五章第2节)
1.合运动与分运动:如果物体同时参与了几个运动,那么物体实际发生的
运动就是合运动,参与的几个运动就是分运动。
分运动不是实际运动
2.合运动与分运动的关系
等时 性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间 相等 　 同时发生,同时结束

蜡块竖直方向
和水平方向的
运动具有等时
性、独立性、
同体性的特点
独立 性 一个物体同时参与几个分运动,各分运动独 立进行,不受其他分运动的影响
等效 性 各分运动合成起来的效果与合运动的效果 _____,即分运动与合运动可以“等效替代”
同体性 各分运动与合运动是同一个物体的运动
相同
3.运动的合成与分解
(1)概念:由分运动求合运动的过程,叫作运动的合成;由合运动求分运动
的过程,叫作运动的分解。
(2)运算规律:运动的合成与分解实质上是对描述物体运动的物理量,如
位移、速度、加速度的合成与分解,位移、速度、加速度都是矢量,运算
时遵从________________。
平行四边形定则
精研考点 提升关键能力
考点一　曲线运动的条件和特征
【核心要点】
条件 F合与速度v不共线
特征 轨迹
速率
【典例剖析】
【典例1】一同学投掷铅球,投出后铅球在空中的运动轨迹如图所示。
铅球经P位置时速度为v,所受合力为F,下列图示正确的是(　　)
√
【解析】选A。投出后的铅球做曲线运动,下降过程中,铅球做加速运动,合力的方向一定与速度方向成锐角,A正确,B、C、D错误。
[母题变式]如图所示,曲线表示投出后的铅球(视为质点)在空中飞行的轨迹,其中一条虚线是轨迹的切线。下列表示铅球在飞行过程中所受重力和空气阻力的示意图,正确的是 (　　)
√
【解析】选C。投出后的铅球在空中飞行时受到重力和空气阻力,重力竖直向下,空气阻力与速度方向相反,而速度方向沿曲线在某点的切线,由于铅球在上升过程中做减速运动,其所受重力G方向与速度v方向的夹角应为钝角,C正确,A、B、D错误。
考点二　运动的合成与分解
【核心要点】
1.判断两个直线运动的合运动性质
2.四种常见类型
分运动类型 合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动与匀变速直线运动
分运动类型 合运动的性质
两个初速度为零的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
【典例剖析】
【典例2】(多选)教材互鉴(鲁科必修二第2章章末练习T5)在马戏表演中,猴
子沿竖直杆向上做初速度为0、加速度为a的匀加速运动,同时人顶着直杆以
速度v0水平匀速移动,经过时间t,猴子沿杆向上移动的高度为h,人顶杆沿水平
地面移动的距离为x,如图所示。关于猴子的运动情况,下列说法正确的是
(　　)
A.相对地面的运动轨迹为直线
B.相对地面做匀变速曲线运动
C.t时刻猴子对地速度的大小为v0+at
D.t时间内猴子对地的位移大小为
√
√
【解析】选B、D。猴子在水平方向上的加速度为0,在竖直方向上有恒定的加速度,根据平行四边形定则,可知合速度与合加速度不在同一条直线上,猴子相对地面做匀变速曲线运动,A错误,B正确; t时刻猴子在水平方向上的速度为v0,在竖直方向上的分速度为at,所以合速度v=,C错误;t时间内猴子在水平方向和竖直方向上的位移分别为x和h,根据运动的合成,知合位移s=,D正确。
[母题变式]猴子在水平方向的位移与时间关系如图甲所示,在竖直方向
上的速度与时间关系如图乙所示,则 (　　)
A.猴子在做变加速运动
B.猴子相对于地面的运动轨迹为直线
C.4 s内猴子的位移大小为4 m
D.4 s末猴子的速度大小为5 m/s
√
【解析】选D。x-t图像斜率表示速度,由甲图可知猴子在水平方向做匀速直线运动,速度大小为3 m/s,在竖直方向做初速度为2 m/s的匀加速直线运动。v-t图像斜率表示加速度,大小为 m/s2=0.5 m/s2,根据运动的合成规律可知,猴子做匀变速曲线运动, A、B错误;4 s内猴子水平方向位移为12 m,竖直方向位移也是×4 m=12 m,所以4 s内猴子合位移为12 m,C错误;4 s末猴子的水平速度为3 m/s,竖直方向上速度为4 m/s,根据速度合成规律,合速度为5 m/s,D正确。
考点三　小船渡河模型
【核心要点】
1.特点
【易错提醒】小船的合运动与分运动的运动时间是相等的,而且两个分运动各自独立,互不影响。
2.方法
平行四边 形定则
正交分解法
3.模型图解
模型 图解
渡河时间最短 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有
关,与水流速度无关;
(2)船头正对河岸时,渡河时间最短,tmin=
(d为河宽)
模型 图解
渡河位移最短 若v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足
v船cosθ=v水时,合速度垂直于河岸,渡河位移最短,
且xmin=d
渡河位移最短 若v船河。当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直
时,渡河位移最短,且xmin==d
【巧学妙记】
小船渡河极值观,关键时刻看航向;
船头垂直航时短,水流速度不用管;
静水航速指上游,航程最短不用愁;
水速静速比小大,紧抓垂直不用怕。
【典例剖析】
角度1　船速大于水速的渡河问题
【典例3】教材互鉴(粤教必修二第一章第二节例题)小船摆渡曾是人们过河的主要方式。设河的宽度为d,河水匀速流动,流速为v1,小船在静水中的运动速度为v2,且v2>v1。
(1)要使小船渡河的时间最短,小船应如何渡河 最短时间是多少 到达对岸时小船的航程是多少
答案:(1)船头的方向应垂直于对岸渡河　　·
【解析】(1)要使小船渡河的时间最短,小船在静水中的速度应全部用于过河,因此船头的方向应垂直于对岸,小船速度的合成如图所示,
则最短渡河时间
tmin=,
小船的速度v=,
故到达对岸时小船的航程
s=vtmin=·;
(2)要使小船渡河的航程最短,小船应如何渡河 渡河所用的时间是多少 最短的航程是多少
答案: (2)小船的合速度方向应垂直于对岸　
　d
【解析】(2)要使小船渡河的航程最短,小船的合速度方向应垂直于对岸,即船头需向上游转过一定的角度。因为v2>v1,小船速度的合成如图所示,
则小船的速度
v'=,
最短的航程即为河的宽度d,故渡河所用的时间
t'==,
船头方向与对岸的夹角可通过cosθ=求得。
角度2　船速小于水速的渡河问题
【典例4】(多选)河水速度与河岸平行如图,其大小v=5 m/s保持不变,小
船相对于静水的速度为v0=4 m/s。一小船从A点出发,船头与河岸的夹角
始终保持不变,B为A的正对岸,河宽为d=200 m。(sin53°=0.8)则(　　)
A.小船做匀速直线运动
B.小船渡河最短时间为40 s
C.无论船头方向如何调整,小船不可能到达B点
D.要想航线最短,船头应与河上游成53°角
√
√
【解析】选A、C。小船沿河岸方向、垂直于河岸方向均做匀速直线运动,根据运动的合成可知小船做匀速直线运动,A正确;小船船头垂直于河岸方向时,小船渡河时间最短,为tmin== s=50 s,B错误;由于v0第四章　第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
(40分钟　70分)
【基础巩固练】
1.(6分)(交通安全)某司机驾驶汽车转弯时发现车速过快,为了防止车辆侧滑,司机踩下制动踏板让汽车减速。那么在汽车减速转弯的过程中,下列选项中标出的地面对汽车的摩擦力Ff方向可能正确的是 (　　)
【解析】选A。汽车做减速曲线运动,汽车受到的摩擦力与运动方向成钝角,且指向轨迹内侧,A正确。故选A。
2.(6分)放在地面上鱼缸中的鱼在静止水中吐出的气泡沿竖直方向加速上浮,若鱼在匀速向右平移的缸中吐出气泡,则从如图所示的角度观察,气泡轨迹应为 (　　)
【解析】选B。若鱼在匀速向右平移的缸中吐出气泡,由题意可知,气泡水平向右匀速运动同时竖直向上加速运动,则气泡的合运动为曲线运动,结合曲线运动的加速度方向位于轨迹的凹侧,则从如图所示的角度观察,气泡轨迹应为B图,B正确。
3.(6分)(生产生活)如图所示为一种竖直门闩的原理图,当在水平槽内向右推动下方木块A时,使木块B沿竖直槽向上运动,方可启动门闩。已知sin37°=0.6,cos37°=0.8。现以速度v0向右推动下方木块A,则木块B向上运动的速度大小为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A。两木块运动过程中,垂直接触面的速度大小相等,有v0sin37°=vBcos37°,解得vB=,A正确。
【总结提升】解答此类问题要“两抓”
4.(6分)某质点在xOy平面内运动的轨迹如图所示,则该质点在x、y两个正方向上的运动状况可能是 (　　)
A.质点在x、y两方向上都匀速运动
B.质点在x方向上匀速运动,在y方向上先加速后减速
C.质点在y方向上匀速运动,在x方向上先加速后减速
D.质点在y方向上匀速运动,在x方向上先减速后加速
【解析】选C。若质点在x方向上始终匀速运动,合力沿着y方向,根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知,合力先沿着y轴负方向后沿着y轴正方向,则质点在y方向上先减速后加速,故A、B错误;若质点在y方向上始终匀速运动,合力沿着x方向,根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知,合力先沿着x轴正方向后沿着x轴负方向,则在x方向上先加速后减速,故C正确,D错误。
5.(6分·多选)(2026·中山模拟)如图,一艘小船船头始终垂直于河岸,从岸边向对岸航行。已知船在静水中的速度大小v船=4 m/s,水流速度大小v水=3 m/s,河的宽度d=60 m,下列说法正确的是 (　　)
A.小船过河的时间为15 s
B.小船过河的时间为20 s
C.小船能垂直到达河的正对岸
D.小船不能垂直到达河的正对岸
【解析】选A、D。小船船头始终垂直于河岸,则过河时间t==15 s,故A正确,B错误;由于小船船头始终垂直于河岸,根据速度合成可知,合速度方向斜向右上方,即小船不能垂直到达河的正对岸,故C错误,D正确。
6.(6分)(科技前沿)我国无人机技术发展迅猛,应用也越来越广泛,其中无人机配送也实现了无接触配送。某次无人机配送质量为2 kg的物件时,物件在水平x轴方向和竖直y轴方向的运动图像分别如图中甲、乙所示,以竖直向上为正方向,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.物件在1~3 s内做变减速曲线运动
B.物件在水平方向加速度大小为4 m/s2
C.物件在1 s时的速度大小为3 m/s
D.物件在0~3 s提升的高度为4.5 m
【解析】选D。根据物件在水平x轴方向的x-t图像可知,物件在水平x方向做匀速直线运动,有vx=4 m/s,ax=0,以竖直向上为正方向,由它在竖直y轴方向运动的v-t图像可知,物件先沿正方向做匀加速直线运动,再做匀减速直线运动,有ay1=3 m/s2,ay2=- m/s2,则物件在0~1 s做匀变速曲线运动,速度增大,在 1~3 s内做匀变速曲线运动,速度减小,A错误;物件在水平方向做匀速直线运动,加速度大小为零,B错误;物件在1 s时的速度大小为v== m/s=5 m/s,C错误;物件在0~3 s提升的高度即为y方向的位移,也是v-t图像的面积,有h= m=4.5 m,D正确。
【总结提升】合运动性质的判定
【综合应用练】
7.(6分)如图所示,小船沿图中虚线垂直于河岸渡河。若途中水流速度增大,为保持原航线渡河,在不改变v船大小的情况下,则 (　　)
A.增大v船与航线之间的夹角,渡河时间变长
B.增大v船与航线之间的夹角,渡河时间变短
C.减小v船与航线之间的夹角,渡河时间变长
D.减小v船与航线之间的夹角,渡河时间变短
【模型构建】
【解析】选A。途中水流速度增大,为保持原航线渡河,即合速度与河岸垂直,增大v船与航线之间的夹角,垂直于河岸方向分速度变小(关键点:船速不变,v船y=v船cosθ变小),则渡河t=时间变长,A正确,B错误;减小v船与航线之间的夹角,垂直于河岸方向分速度变大,沿河岸方向分速度变小(关键点:实际上水流速度增大,v船x也应增大),无法保持原航线渡河,C、D错误。
8.(6分)一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河,已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲,船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙,则以下判断中正确的是 (　　)
A.船渡河的最短时间是40 s
B.船运动的轨迹可能是直线
C.船运动到河宽一半用时10 s
D.船在河水中的最大速度是5 m/s
【解析】选C。当船渡河时间最短时船头指向正对岸,则船渡河的最短时间是tmin== s=20 s,A错误;因为沿水流方向船先做加速运动后做减速运动,垂直于河岸方向做匀速运动,可知合运动不是直线运动,即船运动的轨迹不可能是直线,B错误;船渡河时间与水流速度无关,则船运动到河宽一半用时t1== s=10 s,C正确;当船运动到河中心时速度最大,则船在河水中的最大速度是v== m/s= m/s>5 m/s,D错误。
9.(6分·多选)两端封闭的玻璃管中注满清水,将管转至图示竖直位置,质量为0.2 kg的物体在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像如图所示,下列说法正确的是 (　　)
A.t=0时,物体的初速度大小为0.1 m/s
B.物体所受的合外力大小为0.01 N,做匀变速曲线运动
C.2 s末物体速度大小为 m/s
D.0~2 s内物体的位移大小为 m
【解析】选B、C。因vx0=0.1 m/s,y方向做匀速运动,vy= cm/s=0.1 m/s,则初速度大小为v0== m/s,A错误;x方向做匀加速运动,y方向做匀速运动,故物体做匀变速曲线运动,x方向的加速度ax=0.05 m/s2,F=max=0.01 N,B正确;2 s末速度大小为v2== m/s,C正确;0~2 s内物体在x方向的位移x= m=0.3 m,在y方向的位移y=0.2 m,故位移大小为 m,D错误。
【总结提升】判断物体做曲线运动的两种方法
10.(16分)(2025·大庆模拟)在一光滑的水平面上建立xOy平面直角坐标系,一质点在水平面上从坐标原点开始运动,沿x方向和y方向的x-t图像和vy-t图像分别如图甲、乙所示,求:
(1)运动后4 s内质点的最大速度的大小;(7分)
答案:(1)2 m/s
【解析】(1)由题图可知,质点沿x轴正方向做匀速直线运动,速度大小为vx==2 m/s,在运动后4 s内,沿y轴方向运动的最大速度为vym=4 m/s,则运动后4 s内质点运动的最大速度为vm==2 m/s。
(2)4 s末质点离坐标原点的距离。(9分)
答案: (2)8 m
【解析】(2)0~2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动,2~4 s内先沿y轴正方向做匀减速直线运动,再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动,此过程加速度大小为a== m/s2=3 m/s2
则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间t2== s,则由题图乙可知,运动后的4 s内沿y轴方向的位移
y=×2×(2+) m-×4×(2-) m=0,
因此4 s末质点离坐标原点的距离等于它沿x轴方向的位移,由题图甲可知,
4 s末质点离坐标原点的距离s=x1=8 m。
- 1 -(共23张PPT)
核心素养测评
第四章　第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
(40分钟　70分)
【基础巩固练】
1.(6分)(交通安全)某司机驾驶汽车转弯时发现车速过快,为了防止车辆
侧滑,司机踩下制动踏板让汽车减速。那么在汽车减速转弯的过程中,下
列选项中标出的地面对汽车的摩擦力Ff方向可能正确的是 (　　)
【解析】选A。汽车做减速曲线运动,汽车受到的摩擦力与运动方向成
钝角,且指向轨迹内侧,A正确。故选A。
√
2.(6分)放在地面上鱼缸中的鱼在静止水中吐出的气泡沿竖直方向加速
上浮,若鱼在匀速向右平移的缸中吐出气泡,则从如图所示的角度观察,
气泡轨迹应为 (　　)
√
【解析】选B。若鱼在匀速向右平移的缸中吐出气泡,由题意可知,气泡水平向右匀速运动同时竖直向上加速运动,则气泡的合运动为曲线运动,结合曲线运动的加速度方向位于轨迹的凹侧,则从如图所示的角度观察,气泡轨迹应为B图,B正确。
3.(6分)(生产生活)如图所示为一种竖直门闩的原理图,当在水平槽内向
右推动下方木块A时,使木块B沿竖直槽向上运动,方可启动门闩。已知
sin37°=0.6,cos37°=0.8。现以速度v0向右推动下方木块A,则木块B向上
运动的速度大小为 (　　)
A. B.
C. D.
√
【解析】选A。两木块运动过程中,垂直接触面的速度大小相等,有v0sin37°=vBcos37°,解得vB=,A正确。
【总结提升】解答此类问题要“两抓”
4.(6分)某质点在xOy平面内运动的轨迹如图所示,则该质点在x、y两个
正方向上的运动状况可能是 (　　)
A.质点在x、y两方向上都匀速运动
B.质点在x方向上匀速运动,在y方向上先加速后减速
C.质点在y方向上匀速运动,在x方向上先加速后减速
D.质点在y方向上匀速运动,在x方向上先减速后加速
√
【解析】选C。若质点在x方向上始终匀速运动,合力沿着y方向,根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知,合力先沿着y轴负方向后沿着y轴正方向,则质点在y方向上先减速后加速,故A、B错误;若质点在y方向上始终匀速运动,合力沿着x方向,根据合力方向指向运动轨迹的凹侧可知,合力先沿着x轴正方向后沿着x轴负方向,则在x方向上先加速后减速,故C正确,D错误。
5.(6分·多选)(2026·中山模拟)如图,一艘小船船头始终垂直于河岸,从岸
边向对岸航行。已知船在静水中的速度大小v船=4 m/s,水流速度大小
v水=3 m/s,河的宽度d=60 m,下列说法正确的是 (　　)
A.小船过河的时间为15 s
B.小船过河的时间为20 s
C.小船能垂直到达河的正对岸
D.小船不能垂直到达河的正对岸
√
√
【解析】选A、D。小船船头始终垂直于河岸,则过河时间t==15 s,故A正确,B错误;由于小船船头始终垂直于河岸,根据速度合成可知,合速度方向斜向右上方,即小船不能垂直到达河的正对岸,故C错误,D正确。
6.(6分)(科技前沿)我国无人机技术发展迅猛,应用也越来越广泛,其中无
人机配送也实现了无接触配送。某次无人机配送质量为2 kg的物件时,
物件在水平x轴方向和竖直y轴方向的运动图像分别如图中甲、乙所示,
以竖直向上为正方向,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.物件在1~3 s内做变减速曲线运动
B.物件在水平方向加速度大小为4 m/s2
C.物件在1 s时的速度大小为3 m/s
D.物件在0~3 s提升的高度为4.5 m
√
【解析】选D。根据物件在水平x轴方向的x-t图像可知,物件在水平x方向做
匀速直线运动,有vx=4 m/s,ax=0,以竖直向上为正方向,由它在竖直y轴方向运
动的v-t图像可知,物件先沿正方向做匀加速直线运动,再做匀减速直线运动,
有ay1=3 m/s2,ay2=- m/s2,则物件在0~1 s做匀变速曲线运动,速度增大,在 1~
3 s内做匀变速曲线运动,速度减小,A错误;物件在水平方向做匀速直线运动,
加速度大小为零,B错误;物件在1 s时的速度大小为
v== m/s=5 m/s,C错误;物件在0~3 s提升的高度即为y
方向的位移,也是v-t图像的面积,有h= m=4.5 m,D正确。
【总结提升】合运动性质的判定
【综合应用练】
7.(6分)如图所示,小船沿图中虚线垂直于河岸渡河。若途中水流速度增
大,为保持原航线渡河,在不改变v船大小的情况下,则 (　　)
A.增大v船与航线之间的夹角,渡河时间变长
B.增大v船与航线之间的夹角,渡河时间变短
C.减小v船与航线之间的夹角,渡河时间变长
D.减小v船与航线之间的夹角,渡河时间变短
√
【模型构建】
【解析】选A。途中水流速度增大,为保持原航线渡河,即合速度与河岸垂直,
增大v船与航线之间的夹角,垂直于河岸方向分速度变小(关键点:船速不变,
v船y=v船cosθ变小),则渡河t=时间变长,A正确,B错误;减小v船与航线之间
的夹角,垂直于河岸方向分速度变大,沿河岸方向分速度变小(关键点:实际上
水流速度增大,v船x也应增大),无法保持原航线渡河,C、D错误。
8.(6分)一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河,已知河水的流速v1
与船离河岸的距离x变化的关系如图甲,船在静水中的速度v2与时间t的
关系如图乙,则以下判断中正确的是 (　　)
A.船渡河的最短时间是40 s
B.船运动的轨迹可能是直线
C.船运动到河宽一半用时10 s
D.船在河水中的最大速度是5 m/s
√
【解析】选C。当船渡河时间最短时船头指向正对岸,则船渡河的最短时间是tmin== s=20 s,A错误;因为沿水流方向船先做加速运动后做减速运动,垂直于河岸方向做匀速运动,可知合运动不是直线运动,即船运动的轨迹不可能是直线,B错误;船渡河时间与水流速度无关,则船运动到河宽一半用时t1== s=10 s,C正确;当船运动到河中心时速度最大,则船在河水中的最大速度是v== m/s= m/s>5 m/s,D错误。
9.(6分·多选)两端封闭的玻璃管中注满清水,将管转至图示竖直位置,质
量为0.2 kg的物体在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像
如图所示,下列说法正确的是 (　　)
A.t=0时,物体的初速度大小为0.1 m/s
B.物体所受的合外力大小为0.01 N,做匀变速曲线运动
C.2 s末物体速度大小为 m/s
D.0~2 s内物体的位移大小为 m
√
√
【解析】选B、C。因vx0=0.1 m/s,y方向做匀速运动,vy= cm/s=0.1 m/s,则
初速度大小为v0== m/s,A错误;x方向做匀加速运动,y方向做匀速
运动,故物体做匀变速曲线运动,x方向的加速度ax=0.05 m/s2,F=max=0.01 N,
B正确;2 s末速度大小为v2== m/s,C正确;0~2 s内物体在x方向的
位移x= m=0.3 m,在y方向的位移y=0.2 m,故位移大小为 m,D错
误。
【总结提升】判断物体做曲线运动的两种方法
10.(16分)(2025·大庆模拟)在一光滑的水平面上建立xOy平面直角坐标系,一质点在水平面上从坐标原点开始运动,沿x方向和y方向的x-t图像和vy-t图像分别如图甲、乙所示,求:
(1)运动后4 s内质点的最大速度的大小;(7分)
答案:(1)2 m/s
【解析】(1)由题图可知,质点沿x轴正方向做匀速直线运动,速度大小为vx==2 m/s,在运动后4 s内,沿y轴方向运动的最大速度为vym=4 m/s,则运动后4 s内质点运动的最大速度为vm==2 m/s。
(2)4 s末质点离坐标原点的距离。(9分)
答案: (2)8 m
【解析】(2)0~2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动,2~4 s内先沿y轴正
方向做匀减速直线运动,再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动,此
过程加速度大小为a== m/s2=3 m/s2
则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间t2== s,则由题图乙可知,运动后的
4 s内沿y轴方向的位移y=×2×(2+) m-×4×(2-) m=0,
因此4 s末质点离坐标原点的距离等于它沿x轴方向的位移,由题图甲可知,
4 s末质点离坐标原点的距离s=x1=8 m。 第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
整合教材·夯实必备知识
一、曲线运动(必修二第五章第1节)
1.速度方向:质点在某一点的速度方向,沿曲线在这一点的切线方向,如图所示。
2.运动性质:质点在曲线运动中速度的方向时刻改变,所以曲线运动一定是变速运动。
速度一定变,加速度不一定变
3.曲线运动的条件:
动力学 角度 物体所受合力方向与它的速度方向不在同一直线上
运动学 角度 物体的加速度方向与速度方向不在同一直线上
二、运动的合成与分解(必修二第五章第2节)
1.合运动与分运动:如果物体同时参与了几个运动,那么物体实际发生的运动就是合运动,参与的几个运动就是分运动。
分运动不是实际运动
2.合运动与分运动的关系
等时 性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等 　同时发生,同时结束 蜡块竖直方向和水平方向的运动具有等时性、独立性、同体性的特点
独立 性 一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,不受其他分运动的影响
等效 性 各分运动合成起来的效果与合运动的效果相同,即分运动与合运动可以“等效替代”
同体 性 各分运动与合运动是同一个物体的运动
3.运动的合成与分解
(1)概念:由分运动求合运动的过程,叫作运动的合成;由合运动求分运动的过程,叫作运动的分解。
(2)运算规律:运动的合成与分解实质上是对描述物体运动的物理量,如位移、速度、加速度的合成与分解,位移、速度、加速度都是矢量,运算时遵从平行四边形定则。
精研考点·提升关键能力
考点一　曲线运动的条件和特征
【核心要点】
条件 F合与速度v不共线
特征 轨迹
速率
【典例剖析】
【典例1】一同学投掷铅球,投出后铅球在空中的运动轨迹如图所示。铅球经P位置时速度为v,所受合力为F,下列图示正确的是(　　)
【解析】选A。投出后的铅球做曲线运动,下降过程中,铅球做加速运动,合力的方向一定与速度方向成锐角,A正确,B、C、D错误。
[母题变式]如图所示,曲线表示投出后的铅球(视为质点)在空中飞行的轨迹,其中一条虚线是轨迹的切线。下列表示铅球在飞行过程中所受重力和空气阻力的示意图,正确的是 (　　)
【解析】选C。投出后的铅球在空中飞行时受到重力和空气阻力,重力竖直向下,空气阻力与速度方向相反,而速度方向沿曲线在某点的切线,由于铅球在上升过程中做减速运动,其所受重力G方向与速度v方向的夹角应为钝角,C正确,A、B、D错误。
考点二　运动的合成与分解
【核心要点】
1.判断两个直线运动的合运动性质
2.四种常见类型
分运动类型 合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动与匀变速直线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
【典例剖析】
【典例2】(多选)教材互鉴(鲁科必修二第2章章末练习T5)在马戏表演中,猴子沿竖直杆向上做初速度为0、加速度为a的匀加速运动,同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动,经过时间t,猴子沿杆向上移动的高度为h,人顶杆沿水平地面移动的距离为x,如图所示。关于猴子的运动情况,下列说法正确的是 (　　)
A.相对地面的运动轨迹为直线
B.相对地面做匀变速曲线运动
C.t时刻猴子对地速度的大小为v0+at
D.t时间内猴子对地的位移大小为
【解析】选B、D。猴子在水平方向上的加速度为0,在竖直方向上有恒定的加速度,根据平行四边形定则,可知合速度与合加速度不在同一条直线上,猴子相对地面做匀变速曲线运动,A错误,B正确; t时刻猴子在水平方向上的速度为v0,在竖直方向上的分速度为at,所以合速度v=,C错误;t时间内猴子在水平方向和竖直方向上的位移分别为x和h,根据运动的合成,知合位移s=,D正确。
[母题变式]猴子在水平方向的位移与时间关系如图甲所示,在竖直方向上的速度与时间关系如图乙所示,则 (　　)
A.猴子在做变加速运动
B.猴子相对于地面的运动轨迹为直线
C.4 s内猴子的位移大小为4 m
D.4 s末猴子的速度大小为5 m/s
【解析】选D。x-t图像斜率表示速度,由甲图可知猴子在水平方向做匀速直线运动,速度大小为3 m/s,在竖直方向做初速度为2 m/s的匀加速直线运动。v-t图像斜率表示加速度,大小为 m/s2=0.5 m/s2,根据运动的合成规律可知,猴子做匀变速曲线运动, A、B错误;4 s内猴子水平方向位移为12 m,竖直方向位移也是×4 m=12 m,所以4 s内猴子合位移为12 m,C错误;4 s末猴子的水平速度为3 m/s,竖直方向上速度为4 m/s,根据速度合成规律,合速度为5 m/s,D正确。
考点三　小船渡河模型
【核心要点】
1.特点
【易错提醒】小船的合运动与分运动的运动时间是相等的,而且两个分运动各自独立,互不影响。
2.方法
平行四边 形定则
正交分解法
3.模型图解
模型 图解
渡河时间最短 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关; (2)船头正对河岸时,渡河时间最短,tmin=(d为河宽)
渡河位移最短 若v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ=v水时,合速度垂直于河岸,渡河位移最短,且xmin=d
渡河位移最短 若v船【巧学妙记】
小船渡河极值观,关键时刻看航向;
船头垂直航时短,水流速度不用管;
静水航速指上游,航程最短不用愁;
水速静速比小大,紧抓垂直不用怕。
【典例剖析】
角度1　船速大于水速的渡河问题
【典例3】教材互鉴(粤教必修二第一章第二节例题)小船摆渡曾是人们过河的主要方式。设河的宽度为d,河水匀速流动,流速为v1,小船在静水中的运动速度为v2,且v2>v1。
(1)要使小船渡河的时间最短,小船应如何渡河 最短时间是多少 到达对岸时小船的航程是多少
答案:(1)船头的方向应垂直于对岸渡河　　·
【解析】(1)要使小船渡河的时间最短,小船在静水中的速度应全部用于过河,因此船头的方向应垂直于对岸,小船速度的合成如图所示,
则最短渡河时间
tmin=,
小船的速度v=,
故到达对岸时小船的航程
s=vtmin=·;
(2)要使小船渡河的航程最短,小船应如何渡河 渡河所用的时间是多少 最短的航程是多少
答案: (2)小船的合速度方向应垂直于对岸　
　d
【解析】(2)要使小船渡河的航程最短,小船的合速度方向应垂直于对岸,即船头需向上游转过一定的角度。因为v2>v1,小船速度的合成如图所示,
则小船的速度
v'=,
最短的航程即为河的宽度d,故渡河所用的时间
t'==,
船头方向与对岸的夹角可通过cosθ=求得。
角度2　船速小于水速的渡河问题
【典例4】(多选)河水速度与河岸平行如图,其大小v=5 m/s保持不变,小船相对于静水的速度为v0=4 m/s。一小船从A点出发,船头与河岸的夹角始终保持不变,B为A的正对岸,河宽为d=200 m。(sin53°=0.8)则 (　　)
A.小船做匀速直线运动
B.小船渡河最短时间为40 s
C.无论船头方向如何调整,小船不可能到达B点
D.要想航线最短,船头应与河上游成53°角
【解析】选A、C。小船沿河岸方向、垂直于河岸方向均做匀速直线运动,根据运动的合成可知小船做匀速直线运动,A正确;小船船头垂直于河岸方向时,小船渡河时间最短,为tmin== s=50 s,B错误;由于v0- 1 -

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