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11.4.2 平面与平面垂直
课时2
1.掌握平面与平面垂直的性质定理并证明相关问题.
2.理解“垂直”之间的相互转化.
在正方体中，相邻面互相垂直，如图，平面ABCD,B'C'CB,C'CDD',D'DAA'都垂直于底面ABCD,在这些平面能你能找出多少直线与底面ABCD垂直？
上节课我们学面与平面垂直的判定，这节课我们来学习平面与平面垂直的性质．也就是在两个平面互相垂直的条件下，能得出哪些结论．
AA',BB',CC',DD'与底面ABCD垂直
接下我们探究面面垂直的情况下，存在那些性质
问题1：如图，设平面 α⊥平面 β ，α∩β=a．那么 β 内任意一条直线 b 与直线 a 是什么关系？相应地， b 与 α 有什么关系？为什么？
解析：显然，b与a平行或相交．
a
（1）当b∥a时，b∥α；
（2）当b与a相交时， b与α也相交．
问题2：如图，当b⊥a 时，b 与 α是什么位置关系？
解析：设 b 与 a 的交点为 A ，过 A 在 α 内作直线 c⊥a，
则直线 b，c 所成的角就是二面角 α-a-β 的平面角．
由 α⊥β，可得 b⊥c．又因为b⊥a， a，c α，
a ∩c = A，所以 b⊥α．
A
c
平面与平面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
符号表示：如果 a⊥β，a∩β = m，AO a，AO⊥m，则AO⊥β.
B
O
m
α
A
β
由上面问题，我们可以得出平面与平面垂直的性质
例1：已知平面 α⊥平面 β, α∩ β＝ l，判断下列命题正确：
(1)平面 α 内的任意一条直线必垂直于平面 β （ ）
(2)垂直于交线 l 的直线必垂直于平面 β （ ）
(3)过平面 α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 β （ ） (4)如果 α⊥β，则 α 内的直线必垂直于 β 内的无数条直线 （ ）
√
×
×
√
解析：如图，连接 BC.
例2：如图，已知 α⊥β，在 α 与 β 的交线上取线段 AB = ，且 AC，BD 分别在平面 α 和平面 β 内，它们都垂直于交线 AB，并且 AC = 1，BD = 2，求 CD 的长.
A
B
C
D
α
β
因为 α⊥β，α∩β = AB，BD β，BD⊥AB，
所以 BD⊥α；
又因为 BC α ，所以 BD⊥BC，因此 △CBD 是直角三角形；
在 Rt△BAC 中，有 BC = = = 2；
进而在 Rt△CBD 中，有 CD = = = 2.
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：
(1)两个平面垂直；
(2)直线必须在其中一个平面内；
(3)直线必须垂直于它们的交线．
B
O
m
α
A
β
1.在空间四面体S-ABC中, SC⊥AB, AC⊥SC,且△ABC是锐角三角形,那么必有 (　 )
A.平面SAC⊥平面SCB B.平面SAB⊥平面ABC
C.平面SAC⊥平面SAB D.平面SCB⊥平面ABC
解析：如图,因为SC⊥AB,SC⊥AC,AB∩AC=A,
所以SC⊥平面ABC.所以平面SCB⊥平面ABC.
D
2.如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.求证：AB⊥PD.
解析：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
因为PD 平面PAD,所以AB⊥PD.
3.如图所示,△ABC是边长为 2 的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.
(1)求证:AE∥平面BCD.(2)求证:平面BDE⊥平面CDE.
解析：(1)取BC的中点M,连接DM,
因为BD=CD,且BD⊥CD,BC = 2.
所以DM =1,DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC,平面ABC∩平面BCD=BC,
所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.
又因为AE平面BCD,DM 平面BCD,
所以AE∥平面BCD.
M
(2)连接AM,由(1)知AE∥DM,又AE=1,DM=1,
所以AE=DM,所以四边形DMAE是平行四边形,
所以DE∥AM.
因为BD⊥CD,BD∩DE=D,
所以CD⊥平面BDE.
因为CD 平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE.
M
又△ABC是正三角形,M为BC的中点,
所以AM⊥BC,因为平面BCD⊥平面ABC,
所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD.
又CD 平面BCD,所以DE⊥CD.
1.由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；
由直线与平面的垂直的定义可以得到直线与直线垂直；
2.由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直；
而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直．

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