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11.4.2 平面与平面垂直
课时1
1. 理解二面角及其平面角的概念，会求简单二面角的大小；
2. 理解两个平面互相垂直的概念；
3.掌握平面与平面垂直的判定定理.
如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，两面的“夹角”逐渐变化. 应该怎样刻画面面“夹角”呢？
1.在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线垂直这种特殊情况．
2.在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线垂直．所以直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础；
类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．
我们怎么研究平面与平面之间夹角呢？
二面角的定义：
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.
从一条直线出发的两个半平面所组成的
图形叫做二面角，这条直线称为二面角的棱，
这两个半平面称为二面角的面.
α
B
A
β
棱
面
如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
平面角
二面角
转化
（降维）
α
l
β
A
B
O
如图所示，在二面角 α-l-β 的棱上任取一点 O，以 O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 所成的角称为二面角的平面角.
二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.二面角的平面角α的取值范围是0α180°.
如图，二面角 α-l-β的大小与点O在l上的位置有关吗？为什么？
解析：在l上任取点O，过点O分别作AOlBOl；
在l上任取点，过点分别作AO.易得, .
由空间等角定理（如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补）知∠AOB=∠A′O′B′.
无关.
总结：二面角的大小与垂足在棱上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的.
例1：如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求二面角D′-AB-D的大小.
解析：连接D'A和C'B，由已知AB⊥ADD'A'，所以AD'⊥AB，AD⊥AB.因此∠D'AD即为二面角D'-AB-D的平面角，
A
B
A'
D
C
B'
C'
D'
由于D'AD是等腰直角三角形，因此∠D'AD=45°，所以二面角D′-AB-D的大小为 45°.
如图所示，建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面与水平面垂直，通常会用铅锤等先构造出一条与水平面垂直的线，然后紧贴线来砌墙. 说说为什么此时墙面就一定会与水平面垂直？
如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.
试着从数学的角度，分析这一现象的原因.
我们由以上探究，可以归纳出平面与平面垂直的判定定理：
A
O
m
α
l
β
符号表示：l α，l⊥β α⊥β.
证明：如图，设 α ∩ β = m，l ∩ β = O.
过O在平面β内作与m垂直的直线OA，则有l⊥OA；
由此可知α与β所成角的大小为90°，因此α⊥β.
求证：l α，l⊥β ，则 α⊥β.
也就是说如果 l α，l⊥β ，是 α⊥β的一个充分条件.
如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
例2：如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC= a，AD是斜边BC上的高，如图所示，以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图（2）.
求证：（1）面ABD⊥面BDC，面ACD⊥面BDC；（2）∠BAC=60°.
解析：（1）∵AD⊥BC，AD⊥DC，BD∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC．
又AD 平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC，
AD 平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDC.
（2）∵AB=AC=a，∴BC= a ，∴BD=DC=a，
又折叠后∠BDC=90°，∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BC=BD= a =a，∴AB=BC=AC，∴∠BAC=60°.
体现了立体几何研究中“降维”的思想
面面垂直
线面垂直
线线垂直
转化
转化
利用判定定理证明平面与平面垂直，只需在一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直即可，进而只需证明这条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直即可．
1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 (　　)
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析：因为m∥n,n⊥β,则m⊥β,
又m α,故α⊥β,所以C正确.
C
2.如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°.证明:平面PAB⊥平面PAC.
解析：由题设可知,PA=PB=PC.
由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB.
△PAC≌△PBC.
又∠APC =90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.
从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,因为PB在平面PAB内,所以平面PAB⊥平面PAC.
二面角的概念
二面角的平面角
平面与平面垂直的概念
平面与平面垂直的判定
直线与直线垂直
判定定理
直线与平面垂直

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