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(共21张PPT)
11.3.1 平行直线与异面直线
1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质.（重点）
2.理解并掌握等角定理，并会应用.（难点）
3.理解异面直线的定义，会画两条异面直线.（重点）
4.了解空间四边形的定义.
l
m
n
(1)如图，初中所学的结论“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，在空间中是否仍成立？
(2)初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？
仍然成立
仍然成立
想一想：
（1）铁轨、路灯杆和纸上折痕所在的直线具有怎样的关系？
（2）对于空间中的两条直线，它们有怎样的位置关系？
1.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
2.空间平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
3.图形语言：
4.符号语言：
a
b
c
一、平行
例1：如图所示，在三棱锥S MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是 .
平行
解析： ∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.
不会变化，有∠ABC＝∠A′B′C′.
追问：如图，在空间内，若AB∥A′B′，AC∥A′C′，且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向.则∠BAC与∠B′A′C′还相等吗？说明你的理由.
C′
B
C
A
B′
A′
仍有∠BAC＝∠B′A′C′.
如图，在同一平面内，将∠ABC平移到∠A′B′C′，角的大小是否发生变化？
二、等角定理
等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
图形语言：
符号语言：
AC//A'C'
AB//A'B'
AC与A′C′方向相同
AB与A′B′方向相同
∠BAC=∠B′A′C′.
解析：在 AB上取一点 E，在 A'B'上取一点E'，使得 AE=A'E'；在 AC上取一点 F，在 A'C'上取一点F'，使得 AF=A'F'；
∵AE∥A'E'且 AE=A'E' ，∴ AEE'A'是一个平行四边形，∴ ，
同理
由空间平行线的传递性可知 ，
∴EFF'E'是一个平行四边形，∴EF=E'F'；于是有 EAF≌E'A'F' ，从而∠EAF=∠E'A'F'.
F'
E'
E
F
如图，如何证明等角定理？
A
B
C
A'
B'
C'
从前面课中学习到异面直线，如图，实际生活中的异面直线.
1.异面直线的概念：指的是空间中，既不平行也不相交的直线.
三、异面直线
为了表示异面直线，不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图所示.
2.异面直线的画法
A
B
b
a
a
b
b
a
（1）两图中直线m和l是异面直线吗
α
β
l
m
m
l
不一定
不是
（3）如何判断两条直线是异面直线？
（2 ,则与是异面直线吗？
是否在同一平面内
是
这是因为同时通过直线与点B的平面只能是（过一条直线与直线外一点有且只有一个平面），如果l与直线AB是共面的，则 A，这与 A矛盾.
与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．
3.异面直线的判定
判定两条直线是异面直线的方法：①定义法，②定理法，③反证法.
A
B
l
AB B, A l Bl
直线l与直线 AB异面
(1)相交
(2)平行
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
总结：空间中两直线的三种位置关系
(3)异面直线
没有公共点
不同在任一平面
C
A
B
D
如图，将平面四边形ABCD沿着BD折起来，得到怎样的图形？
A
C
D
B
四、空间四边形
像折后的空间图形ABCD这样，顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形.
这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；
所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；
连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.
1.空间四边形的定义
2.空间四边形的元素
A
C
D
B
A
C
D
B
四条边
对角线
空间四边形用表示顶点的四个字母表示，如下图中的四边形可以表示为空间四边形ABCD,线段AB，BC，CD，DA是它的四条边，线段AC，BD是它的对角线.
3.空间四边形的表示
例2：如图所示的空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,AD,BC,CD的中点，
求证：四边形EFHG是平行四边形.
解析：在△ABC中，因为E,F分别是AB,AD的中点，所以由三角形的中位线定理可知EF∥BD且EF= BD ,
同理,且 GH∥BD,GH= BD,因此 EF平行且等于GH ，所以四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
1.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(　 　)
A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交
解析：如图，在长方体中，AA1与BC异面，
（1）BB1∥AA1，且BB1与BC相交于B，（2）DD1∥AA1，且DD1与BC异面.但不可能平行，因为那会导致两条异面直线平行，与题设矛盾.
B
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证:∠BGC=∠FD1E.
解析：因为E,F,G分别是正方体的棱CC1,BB1,DD1的中点,
所以CE∥GD1,BF∥GD1.
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E,GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的两边分别对应平行,并且方向相同,
所以∠BGC=∠FD1E.

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