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11.2 平面的基本事实与推论
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.
2.掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.
3.运用三个基本事实及推论，解决空间中线面的位置关系问题.
在初中几何中，学习过哪些点与直线的基本事实？
（1）连接两点的线中，线段最短；
（2）过两点有一条直线，并且只有一条直线.
也可简单地说成
“两点确定一条直线”
事实上，通过指定的一个点可以作无数条直线；通过指定的三个点，不一定能作一条直线.所以（2）是确定一条直线的依据.
1.在三国时期，魏、蜀、吴三个政权并立，形成稳定的政治格局，称为三足鼎立.为什么是“三足”而不是“两足”或“四足”？
2.生活中还有哪些“三足”结构？
飞机起落架，相机三角架
至少三点才能构成具有稳定性的底面
基本事实1：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面.
(1)图形语言：
A
B
C
(2)符号语言：
A，B，C三点不共线
有且只有一平面 ，使 A
解析：（1）错误，经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面.
（2）正确，只要直线上有两个点在平面内，整条直线就都在平面内.
例1：判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）空间中任意三个点都能确定一个平面.
（2）如果一条直线上的至少有两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实2：
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
A∈B∈ AB
(1)图形语言：
A
(2)符号语言：
如图，结合基本事实1与基本事实2思考：经过一条直线与一点，能确定平面吗？
推论1：如图，经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面
C AB
存在唯一平面
使得C∈，AB
不一定，点要在直线外
A
C
A
C
D
(2)当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的.裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？
直线
(1)如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点 B？为什么？
B
不是，因为平面是无限延伸的.
(3)两个平面相交时，公共点具有什么特点？
公共点都在两个平面内
基本事实3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
用符号表示为可得
下图是一张倒置的凳子，你能用所学知识检查一下凳子的四条腿的末端是否在同一平面内？
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面
1.连接对角，看两直线是否相交于一点
2.连接两组对边，看是否平行
因此可以得出以下推论
例2：证明：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内.
解析：设直线 AB，BC，AC 两两相交，交点分别是 A，B ，C.
显然，A，B，C 三点不共线，因此它们能确定一个平面 α.
因为A∈α，B∈α， 那么直线 AB α.
同理 AC α ，BC α .
即直线 AB，BC，AC都在平面 α 内.
A
B
C
例3：如图，已知 E，F，G，H 分别是四面体A-BCD的棱 AB，BC，CD，DA 的中点，求证：E，F，G，H 四点共面.
解析：在△ABD中，∵E，H分别是 AB，AD 的中点，∴EH∥BD．
同理FG∥BD，则EH∥FG.
故E，F，G，H四点共面．
证明点、线共面的常用方法：
(1)“纳入法”：先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内；
(2)“同一法”：先由其中一部分点、线确定一个平面 α ，其余点、线确定另一个平面 β ，再证平面 α 与 β 重合；
(3)“反证法”：假设不共面，结合题设推出矛盾.
1.下列说法正确的是(　　)
A．三点可以确定一个平面
B．若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内
C．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点
D．如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合
D
解析：A,必须是不共线的三点才能确定一个平面.若三点在同一直线上，可确定无数个平面，故错误；B,直线与平面的位置关系中，直线可与平面相交.此时直线上有且仅有一个点在平面内，直线并不在平面内，故错误；C,两个平面相交的结果是一条直线，而非一个点.因此三角板平面与桌面平面的交线是过接触点的一条直线，并非仅交于一点.D,不共线的三点确定一个平面.若两个平面拥有三个不共线的公共点，说明这两个平面由同一组不共线三点确定，因此这两个平面必然重合.
2.若点A在平面α内,直线a在平面α内,点A不在直线a上,用符号语言可表示为(　 )
A.A∈α,aα,Aa
B.A∈α,a∈α,Aa
C.Aα,aα,Aa
D.A∈α,aα,Aa
解析：A选项点与线、面的关系用∈，;线与面的关系用、B选项中,“a∈α”错误;C选项中“Aα”错误;D选项中“Aa”错误.
A
3.如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的一点，试说明D1，A，E 三点确定的平面与平面ABCD相交，并画出这两个平面的交线.
解析：因为 A∈面D1AE，A∈面ABCD，所以面D1AE∩ABCD，即面D1AE与面ABCD相交.
A
B
A1
D
C
B1
C1
D1
E
F
F∈直线D1E，直线D1E 面D1AE，F∈直线DC，直线 DC 面 ABCD，则F∈面D1AE∩面ABCD，从而AF为面D1AE与面ABCD的交线.
延长D1E与AC，设它们相交于F，如图所示，连接AF.
基本事实
基本事实1
基本事实2
基本事实3
推论2
推论3
推论1
推论
确定平面
线面关系
面面关系

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