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11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
课时1
1.理解祖暅原理的内容，了解其中的数学文化；
2.掌握柱、锥、台的体积的求法.（重点）
1.我们都知道“等底等高”的三角形或四边形的面积相等，那么“等底等高”的立体图形也有类似的规律吗？
2.一摞书本整齐的堆在一起，从外观上可看成什么几何体？体积怎么算？
长方体，运用长方体的体积公式VSh
问题1：将一摞书本看成整体，把书本朝一个方向推歪了，体积会变化吗？为什么？
问题2：把书本旋转以后，体积会变化吗？为什么？
不管如何变动，体积保持不变.
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异.
幂: 水平截面面积
势: 高
两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.
由以上探究，引入这节课的重点内容
祖暅是南北朝时期著名数学家祖冲之的儿子.他从小对数学具有浓厚的兴趣. 祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了球体的体积计算.为了纪念祖氏父子的这一伟大发现，数学上称这个原理为“祖暅原理”.
接下来运用祖暅原理，用来计算柱体、锥体、台体的体积.
1.柱体的体积
由祖暅原理,等底等高的柱体体积相等吗？为什么？
柱体转化成什么几何体来求体积呢？
柱体
等底等高的长方体
由祖暅原理可得：
（1）等底等高的柱体体积_______.
（2）若柱体的底面积为S，高为h，则体积V= .
Sh
相等
2.锥体的体积
等底等高的锥体体积相等吗？
观察下图，可以得出什么结论？
由祖暅原理可得：（1）等底等高的锥体体积 .
（2）若锥体的底面积为S，高为h，其体积是与它等底等高的柱体体积的 ，体积V= .
相等
Sh
例1：如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，求棱锥′-′的体积与长方体的体积之比.
解析：长方体可以看作是直四棱柱ADD′A′-BCC′B′.设底面ADD ′A′的面积是S，高为h，
则它的体积为 V=Sh.
V棱锥D'-A'CD = V棱锥C-A'DD'=× Sh= Sh. 所以棱锥′-
的体积与长方体的体积之比为
3.台体的体积：
棱台与圆台统称为台体.
台体可看成锥体截去一个小锥体得到，故台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到.
设台体的上、下底面面积分别为S1，S2，且大、小椎体的高分别为H，h则有：
V台体 = V大椎体 – V小椎体= S2H – S1h
已知四棱台上下底面面积分别为，而且高为h，怎么求这个棱台的体积？
解析：如图，四棱台可看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥
P-A1B1C1D1所得，且设两个棱锥的高分别为PO与PO1；
由已知有 = ，再由 PO – PO1= OO1 = h，
因此可得 PO1 = h，PO = h.
B1
A
B
C
D
D1
A1
C1
O1
O
P
故棱台的体积为 V = ×S2×PO – ×S1×PO1= (S2 – S1)
= (– ) = (– )(S2 ++ S1) = (S2 + + S1).
B1
A
B
C
D
D1
A1
C1
O1
O
P
V台体 = (S2 + + S1)h
一般地，如果台体的上、下底面面积分别为 S1，S2，高为 h，则台体的体积计算公式为：
1.半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积是(　　)
A．πR3 B．πR3
C．πR3 D．πR3
解析：设圆锥的底面半径为r，则2πr＝l＝π·R.所以r＝R.
所以圆锥的高h＝ ＝R.
所以V锥＝πr2·h＝··R＝πR3.
A
2.如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．
解析：V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，
V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，
V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此几何体的体积：
V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．
3.已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积．
解析：如图所示，正四棱台ABCD - A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，OE＝AB＝10，∴O1O＝＝12，V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．
故正四棱台的体积为2800 cm3.
1.祖暅原理：幂势既同，则积不容异;
S'=S
S'=0
VS h
（+) h
V S h
上底扩大
下底缩小
2.柱体、锥体、台体的体积关系:

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