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11.1.5 旋转体
1.了解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念.（重点）
2.理解圆柱、圆锥、圆台和球及其简单组合体的结构特征.
3.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的相关性质,以及解决计算长度和面积问题.（难点）
生活中有大量物体是旋转体，如图，分析这些图形由什么旋转而成.
一、旋转体
1.旋转体的概念
用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体称为旋转体
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．
一个矩形绕着一条边所在直线旋转一周，可得什么图形？
A
A′
O
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
旋转轴叫做圆柱的轴；
无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
B
B′
侧面
轴
底面
母线
圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆柱O'O.
圆柱O'O
O′
二、圆柱、圆锥、圆台
1.圆柱
2.圆锥
辨析：直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体是否一定是圆锥
不一定,当绕其直角边旋转时形成圆锥,当绕其斜边旋转时形成同底的两个圆锥.
A
一个直角三角形绕着一条直角边所在直线旋转一周，可得什么图形？
B
S
O
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
轴
母线
底面
顶点
侧面
圆锥的表示：用表示它的轴的字母表示.
棱锥和圆锥统称锥体
3.圆台
轴
上底面
下底面
侧面
母线
O′
O
圆台OO′
以直角梯形垂直于底面的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆台.
圆台的表示法：用表示它的轴的字母表示，如圆台OO′
棱台和圆台统称台体.
拓展：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分就是圆台
例1：下列命题中正确的有(　　)
①圆台的所有平行于底面的截面都是圆;②圆台是直角梯形绕其一边旋转一周而成的;③在圆台的上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线一定是圆台的母线;④圆台可看成是平行于底面的平面截圆锥得到的
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
解析：1.由圆台特点知①④正确;对于②,当这一边是梯形中的一条底边和斜腰时,形成的不是圆台;由圆台的母线延长后交于一点知③错.故B正确.
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πr2＋2πrl
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图
圆柱的侧面展开图是矩形
2r
上底面积：πr'2
下底面积：πr2
底面积：πr2
圆锥的侧面展开图是扇形
圆台的侧面展开图是圆环的一部分
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πr2＋πrl
侧面积：S侧＝πlr+πlr'
表面积：S＝π（r2＋r'2+rl+r'l）
三、球
生活中有很多物品可以抽象成球面，如图所示.球面可以通过什么图形旋转得来？
1.球的定义与结构
O
半径
球心
直径
球O
一个半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的旋转体叫做球体，简称球．
半圆的圆心叫做球的球心；
连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径；
连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，
球用表示球心的字母表示（如图，可表示为球O）；
由球面的形成过程可看出，球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.
2.球的截面性质：
（1）用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直.
（3）若球的半径为R， r：截面圆的半径，d：球心到截面的距离，则
（球的半径、截面圆的半径和球心到截面的距离组成一个直角三角形）
R2 = r2 + d2
（2）球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过的球心的平面截得的圆称为球的小圆.
如图，用一个平面α去截半径为R的球O，截得的圆面的圆心为O′.
解析：（1）球心 O 与截面圆圆心 O′ 的连线必垂直于截面α .
因为OO'⊥α，所以在直角三角形OO'P中，
O′P=.
（2）当用任意平面去截球，还会有这种情况吗？
（1）OO′与平面α有什么位置关系？若OO′＝d，O′P的长等于多少？
（2）都有这种情况
例2：把地球看成一个半径为6370 km的球，已知我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度.( π≈3.1416，cos 40°≈ 0.7660，结果精确到1 km)
解析：作出截面图，如图所示，
设A是北纬40°圈上的一点，AK是北纬40°圈的半径，O为球心，
所以OK⊥AK.
设北纬40°的纬线长为 c km，因为∠AOB=∠OAK=40°，
所以
即北纬40°的纬线长约为30658 km.
经线：当我们把地球看成一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆，经度取值区间为 [0°，180°]；
纬线：赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆，纬度取值区间为 [0°，90°].
地球仪上的经纬线
长方体、正方体与球切、接的常用结论：
①长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则
②正方体的棱长为a，则正方体的外接球的半径 ，正方体的内切球的半径为 ，球与正方体的各棱相切，则球的半径为
已知一个圆的半径为r，那么它的周长为 2r，它的面积为 r2. 类比圆的面积公式，说说如果球的半径为R，那么球的表面积与 R，R2 ，R3 中的哪一个成正比吗？
球的表面积公式为 S球= 4R2，R 为半径.
O
R
球的表面积与 R2 成正比
例3：已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4， 5，求球的表面积.
注意：确定满足到长方体的8个顶点都相等的点即为球心.
解析：由题设可知，长方体的体对角线的中点的就是球心，
又因为.所以所求的球的表面积为.

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