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(共18张PPT)
11.1.4 棱锥与棱台
1.结合所学棱柱的知识，了解棱锥、棱台的定义和结构特征；
2.结合平面几何知识，会计算棱锥、棱台的棱长、斜高与高；
3.知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题.（重点）
根据棱柱的定义，如果两个平行平面中的一个收缩成一个点，可以形成什么样的图形？（也就是将棱柱的底面缩成一个点）
棱柱转化成了棱锥
棱锥的底面
棱锥的侧面
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
S
A
B
C
D
E
O
棱锥的高
棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积
2.棱锥
1.棱锥的概念：如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥.
概念辨析：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的立体图形一定是棱锥吗？
3.表示方法
（1）用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如棱锥S-ABCD;
（2）用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示，
如棱锥S-AC.
S
A
B
C
D
4.分类
棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
三棱锥
四棱锥
五棱锥
（1）侧棱：每条侧棱的长都相等
（2）侧面：都是全等的等腰三角形
（3）斜高：(等腰三角形底边上的高):都相等
5.正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面，这样的棱锥为正棱锥.
例1：如图，是底面边长为1且侧棱长为 的正六棱锥.
(1)写出直线PA与直线CD，直线PA与面ABCDEF之间的关系；
(2)求棱锥的高和斜高；
(3)求棱锥的侧面积.
解析：(1)直线PA与直线CD异面，直线PA∩面ABCDEF=A.
(2)作出棱锥的高PO，因为是正六棱锥，所以O是底面的中心，连接OC，可知OC=1.在Rt△POC中，可知：PO==1.
方法归纳
(1)要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量．
(2)空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成．
设BC的中点为M，由△PBC为等腰三角形可知，PM⊥MC ，
因此PM为斜高，从而
(3)因为△PBC的面积为
故棱锥的侧面积为
二、棱台
观察下图，是如何将棱锥变换成棱台
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥
上底面
侧面
侧棱
高
下底面
2.棱台的元素
3.棱台的性质：两底面是相似的多边形，侧棱的延长线交于一点.
1.棱台的定义：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的多面体叫做棱台.
斜高
4.棱台的表示
可用上底面与下底面的顶点表示.
如图所示的棱台ABC-A'B'C'.
5.棱台的分类
按底面的形状分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)……
下图中的几何体是不是棱台 为什么
不是，因为棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后必须交于一点
三、棱锥和棱台的侧面积
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平
面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题.
S正棱锥侧= c，S正棱台侧= h' （c,c'分别表示上、下底面周长，h'代表斜高）
例2：正三棱台的上、下底面边长分别是2和6,侧棱长是5,则下列说法正确的是( )
A.该正三棱台的上底面积是
B.该正三棱台的侧面面积是60
C.该正三棱台的表面积是12+10
D.该正三棱台的高是
解析：因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2,所以上底面面积为S1= × 2× =，
所以A正确；
A
正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为S2=3×=12.
所以 B 错误；
该正三棱台的下底面面积为S3= ×6× =9.
所以该三四棱台的表面积为S=S +S +S =12+10, 所以 C 正确；
对于选项D:设h 为正三棱台的高，根据勾股定理可得52=h2+,
解得h= , 所以 D 错误.
1.能保证棱锥是正棱锥的一个条件是( )
A.底面为正多边形 B.各侧棱都相等
C.各侧面与底面都是全等的正三角形 D.各侧面都是等腰三角形
解析：A:如果顶点不在底面中心的铅垂线上，即使底面是正多边形，它也不是正棱锥.
B:侧棱相等只能说明顶点在底面的射影是底面多边形的外心.如果底面不是正多边形（例如一个非正方形的矩形），即使侧棱相等，它也不是正棱锥.
C:“底面是正三角形”满足了底面为正多边形的条件.
D: 即使侧面都是等腰三角形，底面也可能不是正多边形（例如底面是菱形），或者顶点投影不在中心，无法保证是正棱锥.
C
2.下面说法中，正确的是(　　)
A.上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台
B.棱台的所有侧面都是梯形
C.棱台的侧棱长必相等
D.棱台的上下底面可能不是相似图形
解析：A错误：除了要求上下底面平行且相似外，棱台还必须满足各侧棱的延长线交于一点这一关键条件.
B正确：棱台由平行于棱锥底面的平面截得，因此其所有侧面都是梯形.
C错误：只有正棱台的侧棱长才相等，一般棱台的侧棱长不一定相等.
D错误：棱台的上下底面是由平行平面截取棱锥形成的，因此它们一定是相似图形.
B
1.棱锥、棱台的定义与几何特征；
2.棱锥、棱台的棱长、斜高与高之间的关系；
3.棱锥、棱台的棱长的侧面积.

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