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第十一章 立体几何初步
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
1.认识空间几何体，了解空间几何体的概念。
2.理解斜二测画法，能用斜二测画法熟练画出常见平面和立体图形的直观图。（重难点）
3.直观图与原图之间的边长与面积关系。（拓展）
以上建筑的图片涉及到了那些立体图形？尝试画出立体中的图形。
三棱锥、长方体、球、圆柱。
大到建筑小到生活中的物体，它们都占据着空间的一部分.如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.
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1.（平面图形）
矩形窗户在阳光的照射下在地面的影子是什么形状？眺望远方的稻田，矩形的稻田在我们眼里是什么形状？
平行四边形
2.（立体图形）
下图（1）（2）是从不同角度同一个魔方的照片，哪个图更能给人立体感？
图（1）看起来更立体
（1）立体图形中有些部分是平面图形；
（2）可以用合适的平面图形将立体图形表达出。
例1：请看课本上用斜二测画法作出梯形的直观图，其中关键点是什么？在纸上用斜二测画法作出一个边长为6的正六边形，水平放置时的直观图。
解析：（1）在六边形 ABCDEF 中，取 AD 所在的直线为 x 轴，对称轴 MN 所在的直线为y轴，两轴交与点 O 。画对应的 x' 轴和 y' 轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'＝45°。
注意：画出坐标系x'Oy',使∠x'O'y'＝45°
（2）以O'为中心，在x'轴上取A' D'=AD,在y'轴上取M'N'=MN。以点N'为中心，画B'C'平行于点x'轴，并且等于BC，再以M'为中心，画E'F'平行于x'轴，并且等于EF。
注意：y'轴上的线段为原来长度的一半，x'轴上的线段长度和原来相同
(3)连接A'B',C'D',D'E',F'A',并擦去辅助线x'轴和y'轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'.
注意：确定所有点后连线，擦去所有辅助线和坐标轴
1.用斜二测画法作水平放置的平面图形直观图的步骤：
(1)在平面图形上取互相垂直的 x 轴和 y 轴，作出与之对应的 x′ 轴和 y′ 轴，使得它们正方向的夹角为 45°(或135°)；
(2)平面图形中与 x 轴平行（或重合）的线段画成与 x′ 轴重合（或平行）的线段，且长度不变．平面图形中与 y 轴平行（或重合）的线段画成与 y′ 轴重合（或平行）的线段，且长度为原来长度的一半；
(3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线。
如何在平面图形的基础上画立体图形？请用斜二测画法画出底面为边长为6的正六边形，高为6的棱柱的直观图。并对比之前画平面时的步骤，总结一下要点。
解析：(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面：在平面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．
画底面的步骤相同，多了画z轴上的线段。
(4)成图：顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示．
擦去所有辅助线，被遮挡的部分改为虚线
2.用斜二测画法作立体图形直观图的步骤：
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的 x 轴与 y 轴，作出水平平面 上图形的直观图（保留 x′ 轴 y′ 轴）。
（2）在立体图形中，过 x 轴与 y 轴的交点取 z 轴，并使于 x 轴与 y 轴。过 x′ 轴与 y′ 轴的交点作 z 轴对应的 z ' 轴，且 z ' 轴垂直于 x′ 轴与 y′ 轴．图形中与 z 轴平行（或重合）的线段画成与 z ' 轴平行（或重合）的线段，且长度不变。连接有关线段。
（3）擦去辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）。
如图，一个水平放置的平面图形A'B'C'D'的直观图是边长为2的菱形，且O'D'=2，可以算出原图形的面积吗？直观图和原图的面积关系是什么？
解析：由题可知O'D'=A'D'=2，∠A'O'D'=45°，∴O'A'=2，可得三角形A'O'D'为等腰直角三角形，∴菱形的面积为×2=4.如图，还原直观图可得原平面图形，OD=2O'D'=4,OA=O'A'=2,AB=DC=2,∴AD===2,∴原图形的面积为4×2=8。原图面积是直观图的2倍。
规律总结：S直观图＝
1.关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
解析：平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；
平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误；
直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确；
线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.
B
2.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为 （ ）
解析：由S原图形=2S直观图，得S原图形=2×4=8.
C
A. B.4 C.8 D.2
3.用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O（尺寸自定）．
解析：设正六边形ABCDEF的边长为 2 cm，六棱锥的高为2 cm，则正六边形的高为 23 cm．①以CF的中点O为原点，CF所在的直线为x轴，画y轴，使∠xOy＝45°，再作Oz⊥平面xOy；
①
②在x轴上取OC＝OF＝2 cm，在 y 轴上分别取M、N两点，使OM＝ON=32 cm，过点M作AB∥x 轴，且AM＝BM＝1 cm，过点N作DE∥x轴，且NE＝ND＝1 cm，在z轴上取OP＝2 cm；③连接BC、DE、EF、FA、PA、PB、PC、PD、PE、PF，并擦去 x'轴、 y'轴和 z'轴,遮挡的部分改用虚线，所得六棱锥P﹣ABCDEF即为所求．
②
③
空间几何体
斜二测画法
画直观图的步骤
立体图形的直观图
平面图形的直观图
长度变化原则
平行性原则

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