资源简介

河南信阳市普通高中2025-2026学年高二下学期期中教学质量检测数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.某水池的水位高度（单位：米）与时间（单位：小时）的关系为，则当时，水位的瞬时变化率为（ ）
A. 米/小时 B. 米/小时 C. 米/小时 D. 米/小时
2.学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选一科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（）
A. 5 B. 12 C. 20 D. 60
3.已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.二项式的展开式中二项式系数之和为，则常数项是（ ）
A. B. C. D.
6.若从0，1，2，3，4，5这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于3000的偶数的个数是（）
A. 96 B. 84 C. 108 D. 72
7.已知函数f(x)=-+x在x=1处取得极大值,则m的值为( )
A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或-2
8.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中正确的是（）
A. 若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立
B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4
C. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7
D. 若随机变量X的数学期望，则.
10.已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递减
B. 函数有三个零点
C. 若函数的图象关于对称，则
D. 若函数在上的最大值为a，则
11.设A，B，C为随机事件，假设，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则A与B相互独立 B. 若A与C互斥，则
C. 若A与C互斥，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.盲盒，由于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求，已经成为一种新型的消费现象.某盲盒营销商对盲盒商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，该商家会以3∶2的比例对新旧款盲盒进行随机发货，则消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率为 .
13.某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为 .
14.不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球.若最多进行n次取球（，），即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二项式的展开式中第3项的二项式系数和第5项的二项式系数相等.
(1)求展开式中含的项；
(2)记，求.
16.(本小题15分)
已知函数（）.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性.
17.(本小题15分)
某科技园区对园区内8家初创企业的研发投入与专利申请数量进行调研，得到如下数据：
企业 A B C D E F G H
研发投入x（万元） 200 500 800 1000 1500 2000 2500 3000
专利申请数y（件） 2 4 6 5 7 8 9 10
(1)从这8家企业中随机抽取1家，记事件M：抽到的企业“研发投入不超过1500万元”；事件N：抽到的企业“专利申请数超过6件”．
(ⅰ)求条件概率的值；
(ⅱ)判断事件M与N是否相互独立，并说明理由．
(2)现在要从这8家企业中随机抽取3家进行重点扶持．记其中专利申请数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题17分)
某环保部门需要对某社区1000户家庭的饮用水进行某种有害物质的检测，假设每户家庭的水样中含有该物质的事件相互独立，且含有该物质的概率均为p（）.检测方法采用分组检测：将待检测家庭分成m个小组，每组n户，每组取每户的水样混合成一个样本进行检测.若某组混合样本检测为阴性（不含该物质），则该组所有家庭无需再检测；若某组混合样本检测为阳性（含有该物质），则需对该组内每户家庭分别单独检测一次（使用已采集的水样）.
(1)已知，若某小组的混合样本检测结果为阳性，求该组内恰好有2户家庭水样中含有该物质的概率（用含p的式子表示）；
(2)用Y表示每组检测次数，T表示总检测次数，求用分组检测方法所需检测次数的期望值；
(3)假设检测成本由两部分组成：采样处理成本为2元/户，化验检测成本为3元/次，若，且该分组检测方法总成本的期望值比逐一检测的总成本节省了20%以上，求p的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数，其中.
(1)当时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
(2)若函数在定义域内存在极值点，求实数的取值范围；
(3)若有两个不同的零点，，证明：.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】AD
12.【答案】
13.【答案】28
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由二项式的展开式中第3项的二项式系数和第5项的二项式系数相等，得，解得，
则的展开式的通项公式为，
令，得，所以展开式中含的项为.
（2）令，得，
令，得，
两式相减，得，
所以.

16.【答案】解：（1）函数的定义域为.
求导得，则曲线在点处的切线斜率为.
直线可化为，斜率为2.
由切线与直线平行，得，解得.
（2）由（1）知，（）.
①当时，恒成立，所以在上恒成立，
故在上单调递增.
②当时，令，得，即.
当，，所以，单调递增；
当时，，，单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

17.【答案】解：(1)(ⅰ)由题意知，事件M：研发投入不超过1500万元，包含企业A，B，C，D，E，共5家；事件N：专利申请数超过6件，包含企业E，F，G，H，共4家．
所以只有企业E．
所以，．
所以．
(ⅱ)由(ⅰ)可知；
因为，；故；
显然；
因此事件M与事件N不相互独立．
（2）由题意可知：专利申请数大于6件的企业有4家，从中随机抽取3家，
则X的取值可以是0，1，2，3；即；
；；
；.
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
X的数学期望：．

18.【答案】解：（1）设该小组的混合样本中含有该物质的户数为X，则.
因为混合样本检测呈阳性，即，
所以所求概率.
又；.
所以.
（2）因为每组检测次数为Y，则Y的分布为：若混合样本为阴性，则只需检测1次，概率为；
若混合样本为阳性，则需检测次，概率为.
所以期望.
因为共有个小组，所以总检测次数的期望为
.
（3）由题意知，总成本包括采样处理成本和化验成本.
所以逐一检测时总成本为元，
分组检测时采样成本为元，化验成本为.
由（2）知，当时，.
故总成本的期望为
,
由题意知，分组检测总成本比逐一检测总成本节省20%以上，即.
所以，即.
所以，解得，因此p的取值范围为.

19.【答案】解：（1）由题意知，当时，函数的定义域为，
求导得.当时，，且，因此恒成立，
所以在上单调递增.
（2）由题意知，函数的定义域为，求导得，
函数在定义域内存在极值点，则其导函数定义域内存在变号零点，
即，所以，
设，则，
当时，，且，所以，即在上单调递增，
又，当时，，因此当时，方程有唯一解，
即存在唯一的极值点；当时，方程无解，无极值点，
故实数a的取值范围为.
（3）设，则，
则
即
两式相乘得：
要证，即证：
由题意，函数有两个不同零点，
①若，则，求导得，
当时，，在上单调递增；
又，故恒成立，无零点，与题设矛盾，
②若，令，
则
当时，，，故恒成立，
在上严格单调递增，至多有一个零点，与题设矛盾，
综上，函数有两个不同零点时，必有，且，.
现证，假设：
若，则，代入得，矛盾，
首先证明不等式，，设，
则，则在上单调递增，
则，则在上恒成立，
若，则，由，
及不等式可得：
即.因为，所以，与矛盾，
故，同理可得.
因为，，所以，，结合，
有：
两式相乘得：
即，原不等式得证.

第1页，共1页

展开更多......

收起↑