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河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数的虚部为（ ）
A. B. 8 C. D. 9
2.已知向量，若，则（ ）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 4
3.在中，，则（ ）
A. B. C. D.
4.如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（）
A. 3 B. 7 C. 9 D. 21
6.已知复数满足（ i为虚数单位），则（ ）
A. 1 B. C. i D.
7.若向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ）
参考数据：.
A. 米 B. 米 C. 300米 D. 米
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（）
A. 正四棱柱的侧面都是正方形 B. 棱台的侧棱延长后交于一点
C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D. 四面体的每个侧面都是等边三角形
10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若的面积为S，且，则
11.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ）
A. 若，则 B.
C. 若，则 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标 .
13.在 ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝ ．
14.如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设，复数.
(1)若复数是纯虚数，求实数m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
16.(本小题15分)
在中，角、、的对边分别为、、，且.
(1)求的大小；
(2)已知，证明：是等腰三角形.
17.(本小题15分)
如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体.
(1)当时，求该艺术品的体积；
(2)当为何值时，该艺术品的表面积最大？
18.(本小题17分)
如图，在梯形中，，，，为的中点，.
(1)用向量和表示；
(2)若，求的值；
(3)若，当为何值时，最小
19.(本小题17分)
已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=-bc.
(1)求A;
(2)若ABC是锐角三角形,且b=2,求ABC的周长的取值范围;
(3)若b=3,c=2,等边DEF的顶点D,E,F分别在边AB,BC,CA上(不含端点),求DEF的面积的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，
又复数是纯虚数，所以，
解得.
（2）复数z在复平面内对应的点为，
又复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以
解得，即实数m的取值范围是.

16.【答案】解：（1）在中，由及正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由及正弦定理得，
由（1）知，所以，即，
所以是等腰三角形.

17.【答案】解：(1) 当a=时, 设圆柱的半径为r, 则=, 解得r=1.
此时该艺术品的体积为V=5-=；
(2) 设圆柱的半径为r, 则=, 解得r=3-a(0< a<5),
要使该艺术品的表面积最大,则圆柱的侧面积取得最大值即可,
=2ra=2(3-a)a=2(3a-),
当a=-=时,取得最大值,
故当a=时,该艺术品的表面积最大。
18.【答案】解：（1）过C作交于F，如图，
因为，所以，，
则四边形是平行四边形，故，即是的中点，
所以.
（2）因为，所以，
所以.
又因为，
所以，解得，.
（3）因为，，，
所以，
所以当，即时，取得最小值.
所以的最小值为，此时.

19.【答案】解:(1)因为=acB=-bc,所以aB+b=c,
由正弦定理得AB+B=C=(A+B)=AB+AB,
所以B=AB,
因为B0,所以=A=1-2,
解得=(=-1舍去),
因为0< A<,所以=,即A=.
(2)由(1)知A=,由正弦定理得==,所以a=,c=,
又C=(A+B)=(B+),
所以ABC的周长l=a+c+2=++2=+2=+2
=+3=+3=+3,
因为ABC是锐角三角形,所以
所以< B<,所以<<,又=(-)==2-,
所以(2-,1),所以+3(3+,6+2).
即ABC的周长的取值范围是(3+,6+2).
(3)设BDE=,DE=EF=DF=x,则ADF=-,AFD=,EFC=-,
在BDE中,=,所以BE=,
在EFC中,=,所以CE=,
因为BE+EC=a,所以+=a, 所以x=.
在ABC中,AB=2,AC=3,所以==,所以=,=,
所以x===,
因为7+3=2(+)2,其中=,(0,),
当+=,即=时,等号成立,
所以x,所以==,即DEF的面积的最小值为.
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