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上海市杨浦区2025-2026学年高一下学期期中考试数学学科样题
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.已知，则下列选项一定成立的是（ ）．
A. B. C. D.
2.下列函数中在区间上是严格减函数的是（ ）．
A. B. C. D.
3.已知ABC中A< B,则下列选项不一定成立的是( )
A. a< b B. AB D. A4.定义在上的函数，满足对任意，恒成立.则下列说法正确的是 （ ）
A. 函数一定是常值函数
B. 函数的函数值一定非负
C. 若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点
D. 若函数存在零点，则一定存在，使得.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.小于的正整数的集合用列举法表示为 ．
6.函数的定义域为 ．
7.若，则cos 2α＝ ．
8.指数函数y=与y=的图像关于y轴对称,则a= .
9.函数的最小正周期为
10.若函数为奇函数，则 ．
11.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是 ．
12.若幂函数在时的图象位于直线的下方，则的取值范围为 ．
13.若关于x的不等式<1的解集为空集,则a的值为 .
14.若正实数满足，则的最大值为 ．
15.某底角的斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光．其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.5米；另一根杆子的影子完全在斜面上，其影子长度为 米（，，结果精确到0.01米）．
16.将函数y=x的图像向左平移m个单位(0< m<2)得到函数y=f(x)的图像.若这两个函数图像的相邻三个交点恰好形成正三角形,则m= .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知集合
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
18.(本小题15分)
已知内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且满足.
（1）求角C的大小；
（2）若，求面积的最大值.
19.(本小题15分)
设为常数，且函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并给出证明；
(3)若，求的取值范围．
20.(本小题18分)
已知f(x)=A(x+)(A>0,>0,0<<),函数y=f(x)的部分图像如图所示.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调减区间;
(3)若关于x的方程f(x)+f(-x)+m=0在区间[,]上有解,求实数m的取值范围.
21.(本小题18分)
已知函数的定义域为，
(1)若，求函数的零点构成的集合；
(2)若，且当时，求函数在上的最小值；
(3)已知对一切恒成立，
求证：“函数存在正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】1或4
12.【答案】
13.【答案】-2
14.【答案】 /
15.【答案】
16.【答案】或
17.【答案】解：（1）由，可得，即，
所以故
（2）由，可得，即
所以，解得或.

18.【答案】解：(1)由余弦定理,C===-.
又C(0,),所以C=
(2)(方法一)将c=代入条件得,+-3=-ab,
所以+=3-ab.
因为+2ab, 得3-ab2ab.
解得ab1, 当且仅当a=b=1时取得等号.
所以=abC1=.
故ABC面积的最大值为,当且仅当a=b=1时取得最大值.
(方法二)利用正弦定理,===
所以a=2A,b=2B=2(A+)=-A+A
代入面积公式=abC得到
=(-A+AA)=(+2A)=[(2A+)-]
其中0< A<，则<2A+<,
所以(1-)=,当且仅当2A+=,即A=时取得等号.
故ABC面积的最大值为,当且仅当A=时取得最大值.
19.【答案】解：（1）函数为奇函数，则满足，
所以，解得，则.
因为，所以当时，为奇函数，满足题意.
（2）函数在上严格递增.证明如下：
当时，，
则，
又因为，所以，，，
所以，即，
故函数在上严格递增．
（3）若，则，
令，则，
要使它小于0，需，即，
所以，故.结合，得
若，则，
由奇函数性质知，
于是
由于严格递增，恒成立，所以.
综上，.

20.【答案】解：(1) 由图像可知, A=.
最小正周期为2(-)==,所以=4.
f()=(4+)=(+)=,所以+=+2k,kZ.
因为0<<,所以=.
所以函数y=f(x)的解析式为y=(4x+).
(2)令+2k4x++2k,kZ.
解得+x+,kZ.
所以函数y=f(x)的单调减区间是[+,+](kZ).
(3) f(x)+f(-x)+m=(4x+)+(-4x+)+m
=(4x+4x)+(-4x+4x)+m
=4x+m=0，
所以m=-.
x[,]时,4x[,],4x[-1,-]，则-[,],
所以实数m的取值范围是[,].
21.【答案】解：（1）当时，
，
所以
故零点集合为
（2）由，知，
对，有，所以，
令，则，
因此，
则，
因，故当时，取得最小值；
（3）先证必要性：
若有正整数周期，则，
于是，
所以也有正整数周期；
再证充分性：
若有正整数周期，则，
即，
整理得，
设，则，
所以对任意整数平移都不变．
假设存在某个使，设，即,
则,,
于是对任意正整数，，
当时,，这与矛盾．
故假设不成立，即，都有，故，
所以也有正整数周期．
综上，“有正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”．

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