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2025-2026学年江苏省无锡市梁溪区大桥实验学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则正整数x的值为（　　）
A. 2 B. 8 C. 2或6 D. 2或8
2.下列曲线中，存在与x轴平行的切线的是（　　）
A. y=cosx+1 B. C. y=ex D. y=-x3
3.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（　　）
A. 35 B. 40 C. 50 D. 70
4.的展开式中含x5的项的系数是（　　）
A. 30 B. 32 C. 34 D. 36
5.如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为（　　）
A. 530 B. 502 C. 503 D. 505
6.已知函数f（x）的定义域为，其导函数是f′（x）.有f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，则关于x的不等式的解集为（　　）
A. B. C. D.
7.某校期中考试要将教室按照六行五列进行布置，其中一个特殊考场需要在最后加上一个座位，如图所示.现将甲、乙等31位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为（　　）
A. B. C. D.
8.对任意x＞0，若不等式ax2≤ex+axlnx（a＞0）恒成立，则a的取值范围为（　　）
A. （0，2e] B. （0，e] C. （0，1] D. [1，e]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知A，B为两个随机事件，，分别表示A，B的对立事件，P（A）=0.2，P（B）=0.3，则下列说法正确的是（　　）
A. 若A B，则P（A+B）=0.3 B. 若，则P（A+B）=0.5
C. 若A，B相互独立，则P（A+B）=0.4 D. 若，则
10.下列说法正确的是（　　）
A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有35种
B. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法
C. 6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法
D. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84
11.已知函数f（x）=ax3（a+1）x2+x，下列结论正确的是（　　）
A. 当a=-1时，f（x）的图像关于y轴对称
B. 当a=1时，f（x）的图像关于点中心对称
C. a＞0，使得f（x）为（-∞，+∞）上的增函数
D. 当a＞0时，若在（-∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，则x2-x1的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率是 .
13.设点P在曲线上，点Q在直线y=3x上，则PQ的最小值为 .
14.已知函数，则函数y=f（x）的单调增区间为 .若函数g（x）=f（x）-ax（a∈R），在定义域内恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（2x-1）n=a0+a1x+a2x2 +anxn（n∈N*），_____.
（1）求的值：
（2）求a1+2a2+3a3 +nan的值.
16.(本小题15分)
一个盒子中有6个大小重量相同的小球，其中2个白球，4个黑球，甲同学从盒子中分3次随机抽取，每次抽取1个球.
（1）若每次抽出的球放回，求恰有2次抽取到黑球的概率；
（2）若每次抽出的球不放回.
①记抽取到的黑球个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
②在抽取到1个黑球与2个白球的前提下，求第2次抽到黑球的概率.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=ex-x-1，g（x）=alnx-x.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-g（x）在[1，2]单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＜0时，若对任意的，总存在，使得f（x1）≤g（x2），求实数a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知函数fn（x）=（1+λx）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中λ∈R.
（1）若λ=-2，n=2026，求a0+a2+a4+…+a2026的值；
（2）若n=8，a7=1024，求ai（i=0，1，2，3，…，8）的最大值；
（3）若λ=-1，求证：.
19.(本小题17分)
已知f（x）=x（lnx-a）+lnx+a,
（1）若a=2，讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）已知，判断函数g（x）=x（lnx-1）-ax+2aln（x+1）的零点个数.
注：ln2≈0.69
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】（-1，+∞）

15.【答案】-1；
16．
16.【答案】解：（1）若每次抽出的球放回，则每次抽取到黑球的概率为，
则随机抽取3次，恰有2次抽取到黑球的概率；
（2）①由题意知：X所有可能的取值为1，2，3，
，
，
，
X的分布列为：
X 1 2 3
P
；
②记事件A为“抽取到1个黑球与2个白球”，事件B为“第2次抽到黑球”，
则事件AB为“第1次和第3次抽到白球，第2次抽到黑球”，
因为，
所以，
即在抽取到1个黑球与2个白球的前提下，第2次抽到黑球的概率为．
17.【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=ex-1，
所以f′（x）=ex-1，
令f′（x）=0，得x=0，
所以在（-∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（0，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）在x=0处取得极小值，且极小值为f（0）=0，无极大值．
（Ⅱ）h（x）=f（x）-g（x）=ex-x-1-alnx+x=ex-alnx-1，（x＞0），
则h′（x）=ex-=ex-=，（x＞0），
因为h（x）在[1，2]上单调递增，
所以h′（x）≥0在[1，2]上恒成立，
所以xex≥a在[1，2]上恒成立，
所以只需a≤（xex）min，x∈[1，2]，
设H（x）=xex，x∈[1，2]，
H′（x）=（x+1）ex，
所以在[1，2]上H′（x）＞0，H（x）单调递增，
所以H（x）min=H（1）=e,
所以a≤e,
所以a的取值范围为（-∞，e]．
（Ⅲ）若对任意的，总存在，使得f（x1）≤g（x2），
则当x∈[，1]时，f（x）max≤g（x）max，
因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以当x∈[，1]时，f（x）max=f（1）=e-2，
因为g（x）=alnx-x,（a＜0，x＞0），
所以g′（x）=-1=，（x＜0），
因为a＜0，
所以当x∈[，1]时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以当x∈[，1]时，g（x）max=g（）=-a-，
所以e-2≤-a-，
所以a≤2-e-，
所以a的取值范围为（-∞，2-e-]．
18.【答案】 1792 若λ=-1，则，
所以．
因为===，
所以（1-x）0]
=x[x+（1-x）]n-1=x，故原等式成立
19.【答案】函数f（x）在（0，+∞）上单调递增 当时，g（x）在[1，+∞）有1个零点
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