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2025-2026学年北京市第171中学教育集团高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.在平行四边形ABCD中，+=（　　）
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则m=（　　）
A. 9 B. 4 C. -4 D. -9
3.在复平面内，复数（2-i）（1+3i）对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.在△ABC中，，b=1，，则B=（　　）
A. B. C. D.
5.函数f(x)=2xx是( )
A. 奇函数,且最小值为0 B. 奇函数,且最大值为2
C. 偶函数,且最小值为0 D. 偶函数,且最大值为2
6.已知正方形ABCD的边长为1，E为线段AB的中点，F为CD边上的动点，则的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
7.古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的.如图所示，某圆柱的轴截面为正方形、其内切球的体积为，则该圆柱的表面积为（　　）
A. 18π
B. 24π
C. 30π
D. 36π
8.已知α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线.下列四个命题：
①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
②若α⊥β，m⊥α，m⊥n,则n⊥β
③若α∥β，m∥α，m∥n,则n∥β
④若α∩β=m,m∥n,则n∥α或n∥β
其中所有真命题的序号是（　　）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
9.已知非零向量，满足2=2 ，则“||=2”是“|-|=2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AB=AC，AB⊥AC，点M在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（　　）
A. 点M可以在点A处
B. 点M在底面ABC上的轨迹为线段
C. 点M的轨迹是直角三角形
D. 直线A1C与点M的轨迹所在平面相交
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若复数z满足（1+i） z=i3，则|z|= ．
12.已知角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于A，B两点，点A坐标为，则tanα= ；若点B在第一象限，且|AB|=，则cosβ= .
13.若向量与满足||=||=||，则与夹角的大小为 .
14.已知非零向量=x（+），=+y，其中，是一组不共线的向量.能使得与的方向相反的一组实数x,y的值为x= ，y= .
15.已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，分别以两条直角边和斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，则这三个几何体中，体积的最大值是 ；表面积的最小值是 .
16.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示.
①函数f（x）的最小正周期为 ；
②将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象.若函数g（x）为奇函数，则t的最小值是 .
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．
（Ⅰ）求证：VB∥平面 M OC；
（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB；
（Ⅲ）求三棱锥A-MOC的体积．
18.(本小题14分)
在△ABC中，2asinB=b.
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若b=2，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：cosC=-；
条件②：a=2；
条件③：sinB=．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.(本小题14分)
某景区有一人工湖，湖面有A，B两点，湖边架有直线型栈道CD，长为50m,如图所示.现要测量A，B两点之间的距离，工作人员分别在C，D两点进行测量，在C点测得∠ACD=45°，∠BCD=30°；在D点测得∠ADB=135°，∠BDC=120°.（A，B，C，D在同一平面内）
（Ⅰ）求A，B两点之间的距离；
（Ⅱ）判断直线CD与直线AB是否垂直，并说明理由.
20.(本小题14分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AE⊥PB.
（1）求证：AE⊥PC；
（2）求证：直线AE不可能与平面PCD平行；
（3）空间中是否存在球O，使得四棱锥P-ABCD的顶点均在此球面上？若存在，确定球心O的位置（结论无需证明）；若不存在，说明理由.
21.(本小题14分)
设n为正整数，集合An={α|α=（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合An中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…，yn），记α*β=x1yn+x2yn-1+…+xny1.设Bn是An的子集，且满足：对于Bn中的任意两个不同的元素α，β，都有α*β=0，则称集合Bn具有性质P（n）.
（Ⅰ）当n=4时，若α=（1，1，0，0），β=（0，0，1，1），求α*α，α*β的值；
（Ⅱ）已知正整数n≥2，集合Cn+2为An+2的子集.求证：“集合Cn+2具有性质P（n+2）”的充要条件为“对Cn+2中任意两个不同的元素α=（p1，r1，r2，…，rn，q1），β=（p2，s1，s2，…，sn，q2）都有（r1，r2，…，rn）*（s1，s2，…，sn）=0，且（p1，q1）*（p2，q2）=0”；
（Ⅲ）给定不小于2的偶数n,设Bn具有性质P（n），求集合Bn中元素个数的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】

13.【答案】
14.【答案】-1
1

15.【答案】16π

16.【答案】

17.【答案】（Ⅰ）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB，
∵VB 平面MOC，OM 平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC 平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC 平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB；
（Ⅲ）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，
∴等边三角形VAB的边长为2，S△VAB=，
∵O，M分别为AB，VA的中点．
∴．
又∵OC⊥平面VAB，
∴三棱锥．
18.【答案】解：（Ⅰ）因为2asinB=b,
则由正弦定理可得，，
又sinB≠0，则，
又A为△ABC的内角，
所以或；
（Ⅱ）若选择①：
因为cosC=-，所以，
所以，
又b=2，2asinB=b,
所以，
所以；
若选择②：
因为b=2，2asinB=b,a=2，
所以，则，
所以，则△ABC为等腰直角三角形，
所以；
若选择③：因为b=2，2asinB=b,sinB=，
所以，
由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA，
当时，，即c2-4c-12=0，解得c=6；
当时，，即c2+4c-12=0，解得c=2；
此时△ABC不唯一，不合题意．
19.【答案】解：（Ⅰ）连接AB，因为∠ADB=135°，∠BDC=120°，所以∠ADC=105°．
因为∠ACD=45°，所以∠CAD=30°．
在△ACD中，，所以．
因为∠BCD=30°，所以∠DBC=30°，所以BD=CD．
在△ABD中，AB2=AD2+BD2-2AD BDcos135°=5CD2．
因为CD=50，所以，
即A，B两点之间的距离为．
（Ⅱ）CD与AB不垂直，理由如下：
延长CD交AB于点E．
在△ABD中，．
所以．
因为0°＜∠ABD＜90°，所以∠ABD＜30°．
所以∠BEC=180°-∠CBE-∠BCD＞90°．
所以直线CD与直线AB不垂直．
20.【答案】证明见解析；
证明见解析；
存在，球心O的位置位于PC的中点．
21.【答案】解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0，0），β=（0，0，1，1），
由定义可知：α*α=1×0+1×0+0×1+0×1=0，α*β=1×1+1×1+0×0+0×0=2．
（Ⅱ）证明：①若集合Cn+2具有性质P（n+2），
任取Cn+2中不同元素α，β，令a=（p1，r1，r2， ，rn，q1），β=（p2，s1，s2， ，sn，q2），
有α*β=p1 q2+r1 sn+r2 sn-1+ +rn s1+q1 p2
=（r1，r2，…，rn）*（s1，S2，…，sn）+（p1，q1）*（p2，q2）=0．
由α*β的定义可知，对任意正整数n,都有α*β≥0，
所以有（r1，r2，…，*（s1，s2，…，sn）=0，（p1，q1）*（p2，q2）=0．
②若对Cn+2中任意两个不同的元素a=（p1，r1，r2， ，rn，q1），β=（p2，s1，s2， ，sn，q2），
都有（r1，r2，…，rn）*（s1，s2，…，sn）=0，（p1，q1）*（p2，q2）=0，
那么α*β=p1 q2+r1 sn+r2 sn-1+ +rn s1+q1 p2
=（r1，r2，…，rn）*（s1，s2，…，sn）+（p1，q1）*（p2，q2）=0．
综上，结论成立．
（Ⅲ）设具有性质P（n）的集合Bn的元素个数最大值为an，
下证：a2=2，an+2=2an（n≥2），其中n为偶数．
当n=2时，则A2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，
由于（0，1）*（1，0）=1，（0，1）*（1，1）=1，（1，0）*（1，1）=1，
则（0，1），（1，0），（1，1）中至多有一个属于B2，
当B2={（0，0），（0，1）}时，B2元素个数取到最大值为2．即a2=2．
一方面，若集合B2，Bn分别具有性质P（2），P（n），
令集合Cn+2={a|a=（p,t1，t2， ，tn，q），其中（t1，t2， ，tn）∈Bn，（p,q）∈B2}，
对Cn+2中任意两个不同的元素α=（p1，r1，r2，…，rn，q1），
β=（p2，s1，s2，…，sn，q2），
都有α*β=0，
由于a2=2，因此an+2≥2an，
另一方面，设具有性质P（n+2）的集合Bn+2元素个数取到最大值为an+2，
设a=（x1，x2…，xn，xn+1，xn+2）和β=（y1，y2， ，yn，yn+1，yn+2）为Bn+2的两个不同元素，
则有α*β=x1yn+2+x2yn+1+ +xn+1y2+xn+2y1
=（x1yn+2+xn+2y1）+（x2yn+1+ +xn+1y2）=0．
因此x1yn+2+xn+2y1=0，x2yn+1+ +xn+1y2=0，
由于a2=2，因此an+2≤2an．
综上，an+2=2an（n≥2），n为偶数．所以an=2．
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