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2025-2026学年四川省凉山州西昌市俊波学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.函数在区间[1，4]上的平均变化率为（　　）
A. B. C. D.
2.已知函数f（x）=，则f′（2）=（　　）
A. -2 B. -4 C. - D. -
3.已知曲线f（x）=x+alnx在点（1，1）处的切线与直线y=2x垂直，则a的值（　　）
A. 1 B. C. D. -1
4.把3个不相同的书签，放入7个不同的书架中，则不同的放法有（　　）
A. 10种 B. 21种 C. 37种 D. 73种
5.已知函数f（x）=x3-3x+a的极小值为6，则实数a的值为（　　）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
6.导函数y=f′（x）的图象如图所示，在标记的点中，函数y=f（x）的极大值点为（　　）
A. x1
B. x2
C. x3
D. x4
7.现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，准备在A、B、C三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（　　）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 72
8.已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＞f′（x），f（0）=1，则不等式f（x）＞ex的解集为（　　）
A. （1，+∞） B. （0，+∞） C. （-∞，1） D. （-∞，0）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导运算正确的是（　　）
A. B. （sin2x）′=2cos2x
C. D.
10.已知函数f（x）=（x+1）ex，则（　　）
A. f′（0）=1 B. f（x）在（-∞，-2）上单调递减
C. 当x＜-1时，f（x）＜0 D. f（x）的最小值为
11.已知x＞y＞0，则下列不等式正确的有（　　）
A. ex-ey＞x-y B. lnx-lny＞x-y
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排合影留念，若甲和乙相邻，则不同的排法共有 种（用数字作答）.
13.已知函数f（x）=cosx,则= .
14.已知对于 x＞0，都有，则a的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算下列各式.
（1）；
（2）解方程：（x∈N）.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=2x3-3x-4.
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线l1的方程；
（2）求过原点O与曲线y=f（x）相切的直线l2的方程.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）若a＞0时，曲线y=f（x）与x轴相切，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若关于x的不等式f（x）≥2在区间[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx-x.
（1）求函数f（x）单调区间；
（2）设函数g（x）=f（x）+a,若x1，x2∈（0，e]是函数g（x）的两个零点.
①求a的取值范围；
②求证：x1x2＜1.
19.(本小题17分)
函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降.但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性.函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：
设f（x）在区间D上连续，如果对D上任意两点x1，x2恒有，则称f（x）在区间D上的图形是凹的图1，区间D为f（x）凹的区间；
设f（x）在区间D上连续，如果对D上任意两点x1，x2恒有，则称f（x）在区间D上的图形是凸的图2.区间D为f（x）凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设f（x）在区间D上连续，在区间D上具有一阶和二阶导数，那么
①如果f（x）在D上恒有f″（x）＞0，则f（x）在区间D上的图象是凹的；如果f（x）在区间D上的图象是凹的，则f（x）在D上恒有f″（x）≥0；
②如果f（x）在D上恒有f″（x）＜0，则f（x）在区间D上的图象是凸的；如果f（x）在区间D上的图象是凸的，则f（x）在D上恒有f″（x）≤0，
其中f′（x）是f（x）的导函数，为f（x）的一阶导数：f″（x）是f′（x）的导函数，为f（x）的二阶导数.
根据以上内容，完成如下问题：
（1）求函数f（x）=3x4-4x3+1的凹的区间和凸的区间：
（2）若g（x）=（x-2）ex-2+a（x2-4）在区间[0，+∞）上图象是凹的，求实数a的取值范围；
（3）证明：.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】48
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】16 x=3或x=4
16.【答案】解：由f（x）=2x3-3x-4，得f′（x）=6x2-3．
（1）f′（1）=3，f（1）=-5，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线l1的方程为y=3（x-1）-5，
即3x-y-8=0；
（2）设切点坐标为（t,2t3-3t-4），
则切点处的切线方程为y=（6t2-3）（x-t）+2t3-3t-4，
把O（0，0）代入，可得t=-1．
∴过原点O与曲线y=f（x）相切的直线l2的方程为3x-y=0．
17.【答案】 当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞0时，f（x）在（0，a）上为减函数，在a，+∞）上为增函数 [ e，+∞）
18.【答案】单调递增区间为（0，1）；单调递减区间为（1，+∞）．
①（1，e-1]；
②不妨设x1＜x2，由①知：0＜x1＜1＜x2≤e，∵g（x）=f（x）+a，
∴，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
设，
则，
∴F（x）在（1，e]上单调递减，
∴F（x）＜F =0，
∴，
又x2∈（1，e]，
∴，
又g（x1）=g（x2），
∴；
∵x1∈（0，1），，g（x）在（0，1）上单调递增，
∴，
则x1x2＜1．
19.【答案】解：（1）∵f（x）=3x4-4x3+1，x∈R，∴f'（x）=12x3-12x2，f“（x）=36x2-24x,
令f''（x）＞0，解得，令f“（x）＜0，解得，
∴函数f（x）的凹的区间是（-∞，0）和，凸的区间是．
（2）∵g（x）=（x-2）ex-2+a（x2-4），
求导得g'（x）=（x-1）ex-2+2ax,g“（x）=xex-2+2a,
∵g（x）在区间[0，+∞）上图象是凹的，
∴ x∈[0，+∞），g′'（x）≥0，即xex-2+2a≥0，
∴ x∈[0，+∞），，即，
令m，显然m（x）在区间[0，+∞）单调递减，
∴m（x）≤m（0）=0，
因此实数a的取值范围是[0，+∞）．
（3）证明：，
令，x＞0，则，
令h‘（x）=0，则x=e,令h'（x）＜0，则x＞e,令h'（x）＞0，则0＜x＜e,
∴函数h（x）在（0，e）单调递增，在（e,+∞）单调递减，
∴，
∴，当且仅当x=e时取等号；
令，则φ′（x）=（x-1）ex-2，
令φ′（x）=0，则x=1，令φ′（x）＜0，则0＜x＜1，令φ′（x）＞0，则x＞1，
∴函数φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，
所以，
因此 x∈（0，+∞），，当且仅当x=1时取等号．
综上所述：，即．
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