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北京市平谷区第五中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学2026.4
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数z=i2+i对应的点在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知等差数列{an}，a1=-1，a3+a7=14，则a9=（　　）
A. 13 B. 15 C. 17 D. 18
4.抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
5.已知是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
6.若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（　　）
A. n=8 B. 各项二项式系数和为128
C. 二项式系数最大的项只有1项 D. 第5项系数等于-35
7.现有4名志愿者在五一放假三天里，到公园去服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有（）种
A. 24 B. 12 C. 81 D. 64
8.已知，则（ ）
A. B. 10 C. D. 80
9.若圆锥曲线C：x2+my2+m=0的焦距为4，则其离心率为（　　）
A. 2 B. C. D.
10.已知函数则“ab＜0”是“f（x）在R上为单调函数”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.的展开式中，的系数为60，则实数 ．
12.已知双曲线的一条渐近线斜率为3，则 ．
13.从甲，乙，丙，丁4人中选出3人，同时执行3项不同的任务，其中甲必须参加，则不同的选派方法共有 种．（用数字作答）
14.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 ．
15.在平面内，点位于直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4．
给出下列四个结论：
①点过坐标原点；
②；
③若点在第一象限内，的最大值为1；
④点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
如图，在直四棱柱中，，分别为的中点
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值
17.(本小题12分)
为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表：
学区 甲 乙
性别 男 女 男 女
达到预期 260人 200人 240人 190人
未达到预期 190人 150人 60人 110人
假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率.
(1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率；
(2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0.
（i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望；
（ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明）
18.(本小题12分)
顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）：
有机种植 机械种植 共生种植
镇 300 350 425
镇 300 375 400
用频率估计概率.
(1)从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率；
(2)从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望；
(3)为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价：
有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg；
机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg；
共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg.
假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明）
19.(本小题12分)
设函数．
(1)当时，求证：直线是曲线的切线．
(2)求的单调区间；
20.(本小题14分)
已知椭圆E：的离心率为，其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，M（x0，y0）为第一象限内E上的动点，点N在直线y=-2上，且OM⊥ON.过A（0，3）作MN的垂线交直线OM于B，求|AB|的值.
21.(本小题15分)
已知函数．
(1)当，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数极值点的个数；
(3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】18
14.【答案】
15.【答案】①②④
16.【答案】解：（1）取中点，连接，因为是中点，
所以在四棱柱中，且，
又，而是中点，所以且，
所以且，
所以是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）因为，所以是等边三角形，
以等边的边的高所在直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，由已知等边的高为，
则，，，，，
所以，
设平面的一个法向量是，
则,令，则，
设平面的一个法向量是，
则,令，则，
，
所以平面与平面夹角的余弦值是．

17.【答案】解：（1）设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件，
由表格中的数据，甲学区教师的总人数为人，
其中评价为“达到预期”的人数为人，
所以，即估计甲学区教师评价为“达到预期”的概率为.
（2）（i）由表格中的数据得，男教师达到预期的概率为，
女教师达到预期的概率为，
根据题意，随机变量的可能取值为，
可得，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 5 10 15
所以期望为.
（ii）甲学区赋分为5的概率为，乙学区赋分为5的概率为，
两个学区所有样本赋分为5的概率为，
赋分数据为0或5时，其样本方差为，
由，
，，
因为，可得，
又由，所以.

18.【答案】解：（1）由题可得随机拿地的情况有：种，
平均亩产量均不低于375的情况有种，故相应概率为：；
（2）分别从两地拿地有9种情况，将拿地情况用坐标表示，
横坐标表示A地平均亩产数，纵坐标表示B地平均亩产数.
的情况有共2种；
的情况有共5种；
的情况有种，则分布列如下：
0 1 2
期望为：；
（3）设两地分别有土地面积为亩.
对于A地，用于有机种植的地有亩，有机种植总产量为，
则有机种植的总利润为：元，
类似可得A地机械种植总利润为：元，
A地共生种植总利润为：元，
则A地平均利润为：元；
类似可得B地平均利润为：元.
则.

19.【答案】解：（1）当时，函数，
则，
设切点为，令，
即，解得或（舍去），
又，则切线方程为，即；
（2），
由题知，，则，
所以的符号完全由x确定，
时，定义域为，
故时，，单调递增，当，，单调递减；
时，定义域为，
故时，，单调递增，当，，单调递减；
综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

20.【答案】
21.【答案】y=ex-e 2个
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