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北京市第一七一中学教育集团2025-2026学年下学期题中调研高一数学
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.在平行四边形中，（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.在复平面内，复数（2-i）（1+3i）对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.在△ABC中，，b=1，，则B=（　　）
A. B. C. D.
5.函数是（ ）
A. 奇函数，且最小值为0 B. 奇函数，且最大值为2
C. 偶函数，且最小值为0 D. 偶函数，且最大值为2
6.已知正方形ABCD的边长为1，E为线段AB的中点，F为CD边上的动点，则的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
7.古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线.下列四个命题：
①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
②若α⊥β，m⊥α，m⊥n,则n⊥β
③若α∥β，m∥α，m∥n,则n∥β
④若α∩β=m,m∥n,则n∥α或n∥β
其中所有真命题的序号是（　　）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
9.已知非零向量，满足2=2 ，则“||=2”是“|-|=2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.在三棱柱中，平面，，，点在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（ ）

A. 点可以在点处 B. 点在底面上的轨迹为线段
C. 点的轨迹是直角三角形 D. 直线与点的轨迹所在平面相交
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若复数满足，则 ．
12.已知角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于A，B两点，点A坐标为，则tanα= ；若点B在第一象限，且|AB|=，则cosβ= .
13.若非零向量与满足，则与夹角的大小为 .
14.已知非零向量，其中是一组不共线的向量．能使得与的方向相反的一组实数的值为 ， ．
15.已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，分别以两条直角边和斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，则这三个几何体中，体积的最大值是 ；表面积的最小值是 .
16.已知函数f(x)=2(x+)的部分图象如图所示.
函数f(x)的最小正周期为 ;
将函数f(x)的图象向右平移t(t>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为奇函数,则t的最小值是 .
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB// 平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V-ABC的体积．
18.(本小题15分)
在中，．
(1)求A；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求三角形的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：．
19.(本小题15分)
某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）
(1)求两点之间的距离；
(2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
20.(本小题15分)
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．
(1)求证：；
(2)求证：直线不可能与平面平行；
(3)空间中是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上？若存在，确定球心O的位置（结论无需证明）；若不存在，说明理由．
21.(本小题15分)
设n为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记．设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，都有，则称集合具有性质．
(1)当时，若，，求，的值；
(2)已知正整数，集合为的子集．求证：“集合具有性质”的充要条件为“对中任意两个不同的元素，都有，且”；
(3)给定不小于2的偶数n，设具有性质，求集合中元素个数的最大值．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】 /
12.【答案】

13.【答案】 /
14.【答案】-1 ； 1
15.【答案】 ； ； ； ； ；
；
16.【答案】 ；
17.【答案】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB，
∵VB 平面MOC，OM 平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（2）∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC 平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC 平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，
∴AB=2，OC=1，
∴等边△VAB面积S△VAB=，
∵OC⊥平面VAB，
∴VC-VAB= S△VAB=，
∴VV-ABC=VC-VAB=．

18.【答案】（1）因为，
则由正弦定理可得，，
又因为，所以，
又因为A为的内角，
所以或；
（2）若选择①：因为，且,
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以；
若选择②：因为，
所以，则，则.
所以，则为等腰直角三角形，
所以；
若选择③：因为，
所以，
由余弦定理可得，，
当时，，即，解得;
当时，，即，解得；
此时不唯一，不合题意．

19.【答案】解：（1）依题意， ， ， ，
所以 ，
，所以 ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
在三角形 中，由余弦定理得 .
（2）在三角形 中，由余弦定理得 ，
，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
，
直线 与直线 不垂直，理由如下：

,
所以直线 与直线 不垂直.

20.【答案】（1）由平面，平面，则，
又，，平面，则平面，
又平面，所以，又因为，，
平面，所以平面，又平面，
所以.
（2）证明：过点作交于点，连接，如图，
由平面，又，则平面，
又平面，所以，即，
又平面，又平面，所以，即，且
所以四边形为直角梯形，则的延长线与的延长线必交于一点，
又平面，从而得证直线不可能与平面平行.
（3）存在，球心位于的中点处.
理由如下：将四棱锥的补成长方体，如图所示，
根据长方体外接球的球心位于体对角线的交点上，
则四棱锥的外接球心位于长方体的体对角线的交点处，
该位置也是的中点处.

21.【答案】解：（1）因为，，
由定义可知：，
．
（2）①若集合具有性质，
任取中不同元素，，令，，
有
．
由的定义可知，对任意正整数n，都有，
所以有，．
②若对中任意两个不同的元素，，
都有，，
那么
．
综上，结论成立．
（3）设具有性质的集合的元素个数最大值为，
下证：，，其中n为偶数．
当时，则，
由于，，，
则，，中至多有一个属于，
当时，元素个数取到最大值为2．即．
一方面，若集合，分别具有性质，，
令集合，其中，
对中任意两个不同的元素，，
都有，
由于，因此．
另一方面，设具有性质的集合元素个数取到最大值为，
设和为的两个不同元素，
则有
．
因此，，
由于，因此．
综上，，n为偶数．
所以．

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