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云南德宏州2025-2026学年下学期普通高中学校高二年级期中教学质量监测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3.学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是（　　）
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
4.在的展开式中，的系数是（ ）
A. 15 B. C. 30 D.
5.已知在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.现有A,B,C,D,E五人站成一排,则A,B相邻且C,D不相邻的排法种数共有（）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
8.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 是的极值点 B. 是的极大值点
C. 的单调递减区间是 D.
10.已知函数关于下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 直线是函数的一条对称轴
C. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象
D. 的导函数的值域为
11.已知函数 展开式中二项式系数和为256 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 所有项的系数之和为1 B. 二项式系数最大项为第4 项
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数在处的切线斜率为，则 .
13.有4名学生准备去芒市勐焕大金塔，瑞丽一寨两国，梁河南甸宣抚司署这3个景点游玩．每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有 种（用数字作答）.
14.已知正三棱柱内接于半径为2的球，则该正三棱柱体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 在 处取得极大值10．
(1)求的值；
(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值．
16.(本小题15分)
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，．
（1）求角C的大小；
（2）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且，求c的值．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥 的底面是正方形，且 ．

(1)求证：平面平面；
(2)求四棱锥的体积；
(3)求平面BDQ与平面ADQ的夹角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆的离心率为，长轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的左 右焦点，点在椭圆上，且点是第一象限的点，若，求点的坐标；
(3)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若的面积为，求.
19.(本小题17分)
已知函数 ．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：当时，．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】3
13.【答案】36
14.【答案】8
15.【答案】解：（1），
故且，解得，
则，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取到极大值，故满足题意.
（2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减，
且极大值为, 极小值为，又因为
故函数 在区间 上的大值为10，最小值为2.

16.【答案】解：（1），
对于△ABC，A+B＝π-C，0＜C＜π，
所以sin(A+B)＝sin C，所以．
又，
所以sin 2C＝sin C，，．
（2）由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得
2sin C＝sin A+sin B，由正弦定理得2c＝a+b．
因为，
所以，
即abcos C＝18，ab＝36．
由余弦定理得c2＝a2+b2-2abcos C＝(a+b)2-3ab，
所以c2＝4c2-3×36，c2＝36，
所以c＝6．

17.【答案】解：（1）因为，所以，所以，
又底面为正方形，所以，
因为是平面内的两条相交直线，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）取的中点，连接，因为，所以，
由（1）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又，，所以，
四边形的面积为，
四棱锥的体积为；
（3）过作交BC于M，则，
由（2）知平面，又平面，
所以，
以为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，
所以，，，，

故，，设平面的法向量为，
则，故，取，则，，
故平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，
所以，所以，
所以平面与平面的夹角的正弦值为

18.【答案】解：（1）由椭圆的离心率为，所以，①
长轴长为，则，②
又，③
联立①②③解得：，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题意如图所示：
由（1）知，
由点在椭圆上，且点是第一象限的点
设，且，④
此时，
由，即，
化简得：，⑤
将⑤代入④解得：或（舍去），
将代入⑤中解得或（舍去），
所以点的坐标为：.
（3）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，
则设直线的方程为：即，如图所示：
设，
联立，消去整理得：，
由，
所以，
根据弦长公式得：
，
又到直线的距离为：
，
所以，
解得：，满足题意，
所以.

19.【答案】解：（1）函数定义域为，；
当时，恒成立，因此在单调递增；
当时，令，得到，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当时，，不满足题设，
当时，在单调递增，在单调递减，
因为函数在定义域内恒成立，所以，解得，
故实数的取值范围为.
（3）由（2）得，当时，当且仅当时等号成立，
所以对任意整数，，结合对数的运算法则可得
所以，
故得证.

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