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江苏连云港市海州区2025-2026学年高二第二学期期中学业水平质量监测数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.的值是（ ）．
A. 120 B. 60 C. 240 D. 22
2.设随机变量，且，则（ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
3.已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
4.已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
若，则（ ）
A. B. 7 C. 21 D. 22
5.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A. B. C. D.
6.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
7.某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（ ）
A. 36 B. 72
C. 90 D. 144
8.如图，已知两个正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线和上移动，且.当的长最小时，直线和夹角的余弦值是（ ）

A. B. 0 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为钝角，则
10.甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（ ）
A. 老师不排在两端的概率为
B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为
C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为
D. 老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为
11.如图所示，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 不存在点，使得平面平面
C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 若正方体棱长为1，则以为球心，为半径的球体被平面所截图形面积的最小值为+2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则n= ．
13.现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有 种.
14.某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为 ；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛.
（1）如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？
（2）如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？
16.(本小题15分)
已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等.
(1)求n的值与展开式中各项的系数和；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
17.(本小题15分)
如图，三棱锥中，平面AOB，，，．
(1)求证：平面POC；
(2)求平面PAB与平面POC夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上、下山的方式互不影响．
(1)从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率；
(2)从该景区出口随机选取4名下山的游客，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列及数学期望．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥中，平面，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，
（i）求平面与平面夹角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AB
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】2
13.【答案】420
14.【答案】0.6/ ； 1.6/
15.【答案】30 51
16.【答案】解：（1）由题知，，由组合数性质可知，；
令得展开式中各项的系数和为
（2）因为，所以展开式共有7项，
由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，
所以.

17.【答案】解：（1）因为平面AOB，平面AOB，因此，
，故，
在等腰中，易知，，
由正弦定理可得，则，
在中，由余弦定理，
可得，故有，则，
因为，平面POC，且、，
所以平面POC．
（2）由（1）知，OA、OP、OB三者两两垂直，
则以O为原点，OA为轴，OC为轴，OP为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又，可得，
因为平面POC，所以平面POC的一个法向量为，
又，，
设平面PAB的法向量为，则，即，
令，则可得平面PAB的一个法向量，为，
所以平面PAB与平面POC的夹角余弦值为．

18.【答案】解：（1）设事件A为“游客步行上山”，事件B为“游客乘观览车上山”，事件C为“游客步行下山”，
由题意可知，，，，
由全概率公式，
即该游客是步行下山的概率为．
（2）由（1）可知每位游客步行下山的概率均为，故这4人中步行下山的游客人数，
故，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望．

19.【答案】解：（1）取中点，连接，
因为为中点，所以，且，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，所以平面；
（2）（i）因为平面，且，
以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
因为平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面平面，
所以平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
不妨取，则，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为；
（ii）存在点满足题意，
易知，
假设存在点满足题意，设，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，
所以点到平面的距离，化简可得，
解得或（舍去），即.

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