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云南昭通一中教研联盟2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学（B卷）试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列求导数运算正确的有（）
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.数列的前n项和为，且，则为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
4.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为为底面直径，，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6.现有一组数据：2，2，4，8，若在这组数据中添加一个数据4，则不会发生变化的统计量是（）
A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差
7.、、、、五人并排站成一排，如果，不能相邻，那么不同的排法种数有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，P为双曲线上一点，则（ ）
A. B.
C. E的渐近线方程为 D. E与有交点
10.伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）
A.
B. 三棱锥的体积为2
C. 平面平面
D. 异面直线与所成角的余弦值为
11.已知函数，则（ ）
A. 是的极小值点 B. 有两个不同零点
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为 .
13.已知，若的二项展开式中，项的系数为12，则 .
14.已知数列的通项公式为，前n项和为，当n为偶数时，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)试判断函数的单调性并写出单调区间.
16.(本小题15分)
如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.
(1)证明：直线//平面；
(2)求直线与平面所成的角的大小.
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，aC+aC-b-c=0
求A；
若，的面积为，求b，c．
18.(本小题17分)
已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值；
(3)令，求数列的前n项和.
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，已知点，动点P关于O的对称点为Q，且直线的斜率之积是，记P的轨迹为曲线E.
(1)求E的方程；
(2)若P关于x轴的对称点为M，求的面积的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由函数，所以函数的定义域为，，
所以，，
所以函数在点处的切线方程为：，
即，所以函数在点处的切线方程为.
（2）因为函数的定义域为，且，
令，得；令，得，
因此函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

16.【答案】解：（1）证明：不妨设，以为原点，、、所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
，，则，，
所以，，
因为三棱柱是直三棱柱，且，
所以向量为平面的法向量，
而且，所以，
又因为直线平面，所以直线//平面.
（2），所以，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
，
所以，即直线与平面所成的角为.

17.【答案】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC-b-c=0，
即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC
∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
即sinA-cosA=1
∴sin（A-30°）=．
∵A为三角形的内角，
∴A-30°=30°
∴A=60°；
（2）若a=2，△ABC的面积=，
∴bc=4．①
再利用余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cosA
=（b+c）2-2bc-bc=（b+c）2-3×4=4，
∴b+c=4．②
结合①②求得b=c=2．
18.【答案】解：（1）解：设等差数列的公差为，首项为，
由题意可得，
化简得，解得，，
所以.
（2）由（1）可知.
由，得，即，
即，解得或.
因为，所以n的最小值是5，
即使成立的n的最小值为5.
（3）由（1）知，所以，
则①，
两边同乘以2，得②，
，得，
所以.

19.【答案】解：（1）解：设，则，
则，，且，
由，得，
整理，得，
故E的方程为.
（2）解法一：依题意，得，则，，
所以，从而，所以，
则的面积，
因为点P在曲线上，则，所以，
即，当且仅当时取“”，
故面积的最大值为3.
解法二：当直线的斜率不存在时，点M与点Q重合，此时不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
则，，从而，，
所以，从而，所以，
由消去y，得，整理，得，
所以的面积，
因为，当且仅当，即时取“=”，
所以.

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