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2025-2026学年山东省青岛市即墨区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.能经过平移得到的图形是（　　）
A. B.
C. D.
2.已知a、b为任意实数，a＞b,则下列变形一定正确的是（　　）
A. |a|＞|b| B. -a＞-b C. a-1＞b-1 D. ac＜bc
3.如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC 的（　　）
A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处
C. 三条高线的交点处 D. 三条垂直平分线的交点处
4.用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b,若∠A＞∠B，则a＞b.”的第一步应假设（　　）
A. a＜b B. a≤b C. ∠A＜∠B D. ∠A≤∠B
5.2026年2月，教育部正式发布《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，明确将劳动教育纳入健康学校建设四大重点任务之一，某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300m2.开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30m2，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，则x满足的不等关系为（　　）
A. 30+（3-0.5）x≤300 B. 300-30x-0.5≤3
C. 30+（3-0.5）x≥300 D. 0.5+300-30x≥3
6.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=52°，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（　　）
A. 15°
B. 16°
C. 18°
D. 32°
7.如图，直线l1：y=x+3与直线l2：y=ax+b相交于点A（m,4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　）
A. x≥4
B. x≤4
C. x≥1
D. x≤1
8.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，AC的长是（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9.按照如下程序，输入x的值并计算.规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作.若输入正整数x,程序操作了两次停止，且所有符合条件的x的最大值为m,最小值为n,则m+n的值为（　　）
A. 33 B. 32 C. 31 D. 30
10.把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（　　）.
A. B. 5 C. 4 D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 .
12.若关于x的不等式x-m≥-5的解集如图所示，则m= .
13.中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则，如图1，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意，若将其抽象成如图2的图形，则∠1的度数为 °.
14.已知不等式组的解集为-1＜x＜1，则（a+1）（b-1）的值是 .
15.如图，△ABC沿AC边所在直线向上平移3个单位长度得到△DEF，四边形ABEF的周长为20，则△ABC的周长等于 .
16.《综合与实践活动》在学校的花园里，有一个边长为5米的等边三角形花坛ABC，园艺师要在BC边的中线AD上设置一个浇水装置F，同时在AC边上有一株特殊的花卉E，已知AE=2.5米.现在需要用水管连接E和F，再连接F和C来灌溉花卉.为了更好地规划后续花卉种植，要使得水管长度EF+CF最短，此时∠CFE= °.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
已知∠α，线段a,求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上的高为a.
18.(本小题10分)
（1）解一元一次不等式：；
（2）解不等式组，并求出它的所有整数解的和.
19.(本小题8分)
已知，如图所示，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，BD=CD．
（1）求证：DE=DF；
（2）求证：AD平分∠BAC．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）.
（1）将△ABC向左平移3个单位得到△A′B′C′，则C′的坐标为______；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出B1的坐标为______；
（3）若点P为x轴上一动点，则PA+PB的最小值为______.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF.
（1）证明：AD垂直平分EF.
（2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC=6，求DE的长.
22.(本小题10分)
【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题.
例：求代数式的最小值.
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF=x+12-x=12，AC=3，DF=2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值.
【模型应用】
（1）代数式的最小值为______；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值.
23.(本小题12分)
项目式学习
背景 某中学为庆祝壮族传统节日“三月三”，拟举办以此为主题的装饰卡制作活动.
素材1 如图，制作一张甲卡片需要彩纸4dm2，丝带2m,共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸6dm2，丝带1m,共花费3.8元.
素材2 学校计划制作甲、乙两种卡片共400张，其中甲卡片数量不足240张，制作两种卡片所需彩纸总量不超过2000dm2.
素材3 购买彩纸和丝带有实体商店和网店两种购买方式，它们均有优惠促销活动：
①实体商店：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知学校在此之前不是该商店的会员）；
②网店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）.
问题解决
任务1 求买彩纸1dm2需要多少钱？买丝带1m需要多少钱？
任务2 若制作甲种卡片a张，求a的取值范围，并用含a的式子分别表示在实体店和网店的购买费用.
任务3 在任务2的条件下，比较实体商店和网店两种购买方式哪种更合算？
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作EF∥AC交AB于点F；
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？
（3）求证：DC=EF.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】或
12.【答案】7
13.【答案】36
14.【答案】-6
15.【答案】14
16.【答案】60
17.【答案】△ABC即为所求作．

18.【答案】x＜ -2≤x＜2，-2
19.【答案】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
在Rt△DFC与Rt△DEB中，
，
∴Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），
∴DE=DF；
（2）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=DF，
∴AD平分∠BAC．
20.【答案】（0，3） ；（-1，4）
21.【答案】（1）∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠AED=∠AFD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE=DF，AE=AF，
∴点A和点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF （2）4
22.【答案】（1）∵AH=3+2=5，HD=12，
∴，
∴的最小值是13，
故答案为：13；
（2）∵AC=2，DF=1，CF=5，AH=2+1=3，HD=5，
∴，
∴的最小值是；
（3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC=6，BC=8，如图，

设CD=x,则，
∴，
∵62+82=102，
∴∠ACB=90°，
∴，
∴x=4.8．
23.【答案】（任务1）买彩纸1dm2需要0.5元钱，买丝带1m需要0.8元钱；
（任务2）a的取值范围为200≤a＜240，在实体店购买所需费用为（1359-0.14a）元，在网店购买所需费用为（1368-0.18a）元；
（任务3）当200≤a＜225时，在网店购买更合算；当a=225时，在实体商店和网店购买所需费用相同；当225＜a＜240时，在实体商店购买更合算．
24.【答案】解：由题意得AD=t厘米，CE=2t厘米，
（1）若△DEC为等边三角形，则EC=DC，
∴2t=6-t，解得t=2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形；
（2）若△DEC为直角三角形，当∠CED=90°，
∴CE=DC，
∴2t=（6-t），
解得：t=1.2，
当∠CDE=90°时，
∴CE=DC，
∴×2t=6-t，
∴t=3，
∴t为1.2或3时，△DEC为直角三角形；
（3）证明：∵∠A=90°，∠B=30°，AC=6厘米，
∴BC=12厘米，
∴DC=（6-t）厘米，BE=（12-2t）厘米，
∵EF∥AC，
∴∠A=∠BFE=90°，
∵∠B=30°，
∴EF=BE=（12-2t）=（6-t）厘米，
∴EF=CD．
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