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2025-2026学年山东省烟台市福山区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式能与合并的是（　　）
A. B. C. D.
2.用配方法解下列方程时，配方正确的是（　　）
A. x2-2x-99=0化为（x-1）2=98 B. x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C. 2t2-7t-4=0化为 D. 3y2-4y-2=0化为
3.以为根的一元二次方程可能是（　　）
A. x2-4x-c=0 B. x2+4x-c=0 C. x2-4x+c=0 D. x2+4x+c=0
4.的整数部分是x,小数部分是y,则的值为（　　）
A. B. C. -2 D. 2
5.下列运算错误的是（　　）
A. B.
C. D.
6.若xy＜0，则化简后的结果是（　　）
A. B. C. D.
7.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A. OA=OC，OB=OD
B. 当AB=CD时，四边形ABCD是菱形
C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
8.已知a,b,c为常数，点P（a,c）在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况为（　　）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判定
9.电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x,则方程可以列为（　　）
A. 2+2x+2x2=18 B. 2（1+x）2=18
C. （1+x）2=18 D. 2+2（1+x）+2（1+x）2=18
10.如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB=4，BC=8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在AD边上点P处，点D落在点G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM.下列结论：
①CQ=CD；
②四边形CMPN是菱形；
③P，A重合时，MN=2；
④点C、M、G三点共线.
其中正确的结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若实数a,b满足（+）（+-2）=3，则+的值是 ．
12.函数的自变量x的取值范围是 ．
13.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为______米．
15.如图，在菱形ABCD中，∠B=40°，点E在CD上，AE=AC，则∠BAE= ______°.
16.如图，四边形ABCD是边长为3的菱形，对角线AC、BD的长度分别是关于x的一元二次方程x2-mx-x+2m=0的两实数根，DH⊥AB于点H，则DH的长度是 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18.(本小题8分)
解方程：
（1）（配方法）；
（2）3x-x2=x-3；
（3）4x2-8x+1=0；
（4）3x2+5（2x+1）=0（公式法）.
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k-2=0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根：
（2）若该方程的两个实数根x1，x2，满足x1-x2=-2k+3．求k的值．
20.(本小题8分)
关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m-1）x2+x+m-=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值.
21.(本小题8分)
已知：x=+，y=-.求下列各式的值.
（1）x2-xy+y2；
（2）-.
22.(本小题8分)
近年来，农产品直播带货行业发展态势强劲，手机成了新农具，直播卖货成了新农活，乡村电商成为推动乡村振兴的新动能，我市一家电商运营公司直播销售一种有机蓝莓，每箱蓝莓成本为60元.根据销售经验，当每箱售价为150元时，平均每天可销售60箱；若当每箱售价每降低10元时，平均每天可多销售20箱.“五一”假期来临，该公司决定进行降价促销活动，在每箱降价幅度不超过30元的情况下，当每箱有机蓝莓售价定为多少元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额？
23.(本小题8分)
已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF=AE，连接CF．
（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；
（2）若AF=9，CF=3，求CD的长．
24.(本小题8分)
阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围.
解：原式=|a-1|+|a-3|
当a＜1时，原式=（1-a）+（3-a）=4-2a=2，解得 a=1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式=（a-1）+（3-a）=2=2，符合条件；
当a＞3时，原式=（a-1）+（a-3）=2a-4=2，解得 a=3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2x≤a≤3时，化简，= ______.
（2）若等式成立，则 n的取值范围是______.
（3）若，求a的取值.
25.(本小题8分)
如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE.交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
（3）若F点恰为BC中点，求CG的长度.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】3
12.【答案】x≤2且x≠1
13.【答案】k＜5且k≠1
14.【答案】1
15.【答案】110
16.【答案】
17.【答案】2 17 3+3 2
18.【答案】x1=，x2=- x1=3，x2=-1 x1=1+，x2=1- x1=，x2=
19.【答案】（1）证明：∵Δ=[-（2k+1）]2-4×1×（k-2）
=4k2+4k+1-4k+8
=4k2+9＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，x1x2=k-2，
∵x1-x2=-2k+3，
∴（x1-x2）2=4k2-12k+9，
∴（x1+x2）2-4x1x2=4k2-12k+9，
∴（2k+1）2-4（k-2）=4k2-12k+9，
解得k=0．
20.【答案】解：（1）根据题意得Δ=（-3）2-4k≥0，
解得k≤；
（2）∵k是符合条件的最大整数，
∴当k≤时的最大整数值是2，
则关于x的方程x2-3x+k=0是x2-3x+2=0，
解得：x1=1，x2=2，
∵一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，
∴当x=2时，4（m-1）+2+m-3=0，
解得m=1；
而m-1≠0，所以m=1舍去，
当x=1时，（m-1）+1+m-3=0，
解得m=，
∴m的值为．
21.【答案】解：（1）∵x=+，y=-，
∴x+y=（+）+（-）=2，x-y=（+）-（-）=2，
xy=（+）（-）=7-5=2，
∴x2-xy+y2=（x+y）2-3xy=28-6=22；
（2）-====2．
22.【答案】解：设每箱有机蓝莓售价定为x元，
由题意得：，
整理得：x2-240x+14300=0，
解得：x1=110（不符合题意，舍去），x2=130，
答：当每箱有机蓝莓售价定为130元时，可让该公司实现平均每天7000元的利润额．
23.【答案】（1）四边形EBCF是矩形，
证明：∵四边形ABCD菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
又∵DF=AE，
∴DF+DE=AE+DE，
即：EF=AD，
∴EF=BC，
∴四边形EBCF是平行四边形，
又∵BE⊥AD，
∴∠BEF=90°．
∴四边形EBCF是矩形；
（2）∵四边形ABCD菱形，
∴AD=CD．
∵四边形EBCF是矩形，
∴∠F=90°，
∵AF=9，CF=3，
∴设CD=x，则DF=9-x，
∴x2=（9-x）2+32，
解得：x=5，
∴CD=5．
24.【答案】（1）3；
（2）3≤a≤7；
（3）原方程可化为：|a+11+|a-5|=8，
当a≤-1时，∴a+1≤0，a-5＜0，
.原方程化为：-a-1-（a-5）=8，
∴a=-2，符合题意；
当-1＜a＜5 时，
∴a+1＞0，a-5＜0，
∴（a+1）-（a-5）=8，
.此方程无解，故-1＜a＜5 不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a-5≥0，
∴a+1+a-5=8，
∴a=6，符合题意；
综上所述，a=-2 或a=6．
25.【答案】（1）证明：如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，
∵EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENC=∠END=90°，
∴∠MEN=360°-90°-90°-90°=90°，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠FED=90°，
∴∠MEN-∠FEN=∠FED-∠FEN，
即∠MEF=∠NED，
∵点E是正方形ABCD对角线上的一点，
∴EN=EM，
在△FEM和△DEN中，
，
∴△FEM≌△DEN（ASA），
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形．
（2）解：CE+CG的值为定值，
由（1）知，矩形DEFG为正方形，
∴DE=DG，∠EDG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠EDG-∠EDC=∠ADC-∠EDC，
即∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC=AB=4，
∴CE+CG=4，是定值；
（3）解：连接DF，过点G作GM⊥BH于点M，
∵F点为BC中点，
∴CF=BC=2，
∴DF==2，
∵∠DGF=90°，
∴DG2+FG2=DF2，
∵DG=FG，
∴FG=，
∵△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG=45°，
∴∠GCM=45°，
∵GM⊥BH，
∴FM2+GM2=FG2，CM=GM，
即（CM+2）2+CM2=，
∴CM=1，
∴CG=CM=．
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