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2025-2026学年山东省烟台市牟平区九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在-1，0，1，这四个数中，绝对值最小的数是（　　）
A. B. -1 C. 0 D. 1
2.我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. a3 （-a）2=a4 D. （-a2）3=a6
4.如图，一横一竖两块相同长方体木方放置于水平台面上，其主视图为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　）
A. B. C. 7x+9x=1 D. 9x-7x=1
6.如表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温.比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（　　）
日期
气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高/℃ 12 6 10 9 8
最低/℃ 1 -2 -1 0 2
A. 日最高气温的波动大 B. 一样大
C. 日最低气温的波动大 D. 不确定
7.如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=130°，∠EGF=80°，则∠CDF的度数是（　　）
A. 130° B. 140° C. 150° D. 160°
8.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个60°，得到正六边形OAiBiCiDiEi，则正六边形OAiBiCiDiEi（i=99）的顶点Ci的坐标为（　　）
A. （1， B. C. （1，-2） D. （2，1）
9.如图，点D在半圆O上，半径，AD=12，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC=90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
10.如图，O是坐标原点，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为x=-2，其中A（2，0），B（0，c），且-3＜c＜-2.以下结论：①abc＞0；②＜b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b-2）x+c=0的两根为x1、x2（x1＜x2），则-2＜x1＜4-2，6＜x2＜4+2.其中正确结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：7m2-28= .
12.2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射.火箭的入轨速度高达11.5千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒.
13.如图所示，∠MON=120°，以点O为圆心，2为半径作圆，与射线OM、ON分别交于A，B两点.若分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AB、AC、BC，则在⊙O之外，△ABC之内部分区域的面积是 .
14.如图所示，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上.若∠A=90°，，A（-4，3），则点G坐标为 .
15.如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm,AB=ncm.动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动.当点Q运动到点A时，两点都停止运动.△PCQ的面积S（单位：cm2）与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示，则实数m+n= .
16.如图，在△ABC中，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与点B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q.下列四个结论：
①AC=FG；
②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；
③∠ABC=∠ABF；
④AD2=FQ AC.
其中结论正确的序号是 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中a是4的平方根.
18.(本小题7分)
为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动.下面是该校对活动中小发明模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题.
小发明模型设计水平调查报告
调查主题 “逐梦科技强国”活动中小发明模型设计水平
调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识.
调查对象 某校学生小发明模型设计成绩 调查方式 抽样调查
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的小发明设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x＜100.下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89.
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了______名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）现从表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.
19.(本小题8分)
如图，直线l：y=x+m与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A（6，2）.
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1=∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离.
20.(本小题8分)
请你根据下列素材，完成有关任务.
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务：
任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
任务二 若恰好赶上价格调整，篮球价格是原价格的八折，排球提价5%，请你给出最节省费用的购买方案.
21.(本小题9分)
在校园的水平地面上有两座建筑物AD，BC，其中建筑物BC=18m.数学社团的成员小明，从A，B之间的E点（A，E，B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°.
（1）根据以上信息，请你帮助小明画出便于测量计算的平面示意图，并标明字母和角度；
（2）根据示意图，求∠CDE的度数及建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）.
22.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC=6，DE=4．
（1）求证：∠FEB=∠ECF；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求线段EF的长．
23.(本小题11分)
【问题呈现】
如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点B不重合）.
【问题解决】
（1）如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=______度，线段BP与线段AC的数量关系是______；
【问题探究】
（2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE=2FG，AB=5，求AP的长.
24.(本小题13分)
如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m,y1），N（m+2，y2）为二次函数y=-x2+2x+3图象上两点.
（1）求直线BC对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2=10.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
（3）已知P是二次函数y=-x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1-m,作△MNP.若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】7（m+2）（m-2）
12.【答案】1.15×104
13.【答案】4-π
14.【答案】（10，-3）
15.【答案】20
16.【答案】①②③④
17.【答案】，原式=．
18.【答案】50，83.5，144°；
补全频数分布直方图如下：
720；

19.【答案】点C的坐标为（2，6），直线l向上平移的距离为．
20.【答案】（任务一）每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元；
（任务二）最节省费用的购买方案为：购买20个篮球，40个排球．
21.【答案】 建筑物AD的高度为（27+9）m，
22.【答案】解：（1）如图，连接OD，
∵CB，CD是⊙O的切线，
∴CD=CB=6，∠ODC=∠OBC=90°，
又∵OB=OD，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠OCD=∠OCB，
又∵EF⊥OG，
∴∠EFO=90°，
∴∠OEF+∠EOF=90°，
∵∠BOC+∠BCO=90°，∠EOF=∠BOC，
∴∠FEB=∠ECF；
（2）∵CD=CB=6，DE=4，
∴CE=6+4=10，
在Rt△BCE中，BE===8，
∵tan∠OED==，
∴=，
∴OD=3，
即⊙O的半径为3；
（3）由勾股定理得，
OE===5，
OC===3，
∵∠FEO=∠DCO，∠EFO=∠CDO=90°，
∴△EOF∽△COD，
∴=，
即：=，
∴EF=2．
23.【答案】30;BP=AC CE=2BE，
如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ，
∴BE=BQ，∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC．
∴△BEQ为等边三角形，
∴∠BEQ=60°=∠BQE，BE=EQ，
∵点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，
∴∠AEB=150°，∠BEC=180°-60°=120°，
∴∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°，
∴∠EQC=150°-60°=90°，
∴∠ECQ=90°-60°=30°．
∴CE=2EQ=2BE AP的长为2或
24.【答案】解：（1）令x=0，则y=3，可得C的坐标为（0，3）．
令y=0，则-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3．
故点B的坐标为（3，0），
设直线BC的表达式为y=kx+b,
故解得，
∴直线BC对应函数的表达式为y=-x+3．
（2）不存在实数m使得y1+2y2=10，理由如下：
方法一：把M（m,y1），N（m+2，y2）代入二次函数y=-x2+2x+3中，
可得，，
∴，
配方得．
故当时，y1+2y2的最大值为≠10．
故不存在实数m使得y1+2y2=10；
方法二：由方法一得．
当y1+2y2=10时，即-3m2-2m+9=10，整理可得3m2+2m+1=0．
∵Δ=4-12=-8＜0，
∴方程没有实数根．
∴不存在实数m使得y1+2y2=10；
（3）或
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