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2025-2026学年甘肃省兰州交通大学附属中学总、分校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
2.分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x=-1 B. x≠-1 C. x≠0 D. x＞-1
3.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A. 6a2b2=3ab2ab B. （x+1）（x-1）=x2-1
C. x2-4x+4=（x-2）2 D. x2-x-4=x（x-1）-2
4.若一个多边形的内角和是这个多边形外角和的5倍，则这个多边形的边数为（　　）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
5.已知点A（-3，m）与点B（n,2）关于原点对称，则m+n的值为（　　）
A. -5 B. 5 C. -1 D. 1
6.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A. BC=1，AC=2，AB= B. BC：AC：AB=3：4：5
C. ∠A+∠B=∠C D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
7.下列命题是真命题的是（　　）
A. 有一个角是60°的三角形是等边三角形
B. 若a＞b,则a2＞b2
C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明：“已知△ABC，AB=AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B＞90°
8.如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点A（-2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（　　）
A. x＞-2
B. x＜-2
C. x＞4
D. x＜4
9.把多项式3x2+ax-2分解因式，结果是（3x+1）（x+b），则a，b的值为（　　）
A. a=7，b=2 B. a=5，b=2 C. a=-7，b=-2 D. a=-5，b=-2
10.如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转40°得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上.若∠A=26°，则∠BCA′的度数为（　　）
A. 44° B. 43° C. 42° D. 41°
11.如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动.若EF=1，则GE+CF的最小值为（　　）
A. 4
B. 5
C. 4+
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.把多项式3m2-12分解因式的结果是 .
13.若关于x的不等式（2-a）x＞3可化为x＜，则a的取值范围是 .
14.如图，两个直角三角形重在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DH=4，BC=15，平移距离为6，则阴影部分的面积为 .
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=20，则△ABD的面积是 .
三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
解不等式组.
17.(本小题5分)
解方程：．
18.(本小题7分)
先化简，再求值：.其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值.
19.(本小题7分)
已知关于x的分式方程.
（1）若在解此方程时产生了增根，则m的值是______；
（2）若此方程的解是正数，求m的取值范围.
20.(本小题5分)
如图，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O，求证：OB=OC.
21.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=kx-1与直线交于点A（a,1）.
（1）求a的值和直线l1的表达式；
（2）结合图象，直接写出不等式的解集.
22.(本小题6分)
为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板ABC的三个顶点分别是A（-3，2），B（0，4），C（0，2）.
（1）将三角板ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）平移三角板ABC，点A的对应点A2的坐标为（1，-4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标______.
23.(本小题8分)
某商家两次购进同一种商品进行销售，已知第一次进价是第二次进价的1.2倍，第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件.
（1）问商品的两次进价分别为多少元？
（2）商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，则每件商品的售价至少是多少元？（假设购进的商品全部销售完）
24.(本小题8分)
下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2-4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？______．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果______．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
25.(本小题9分)
在△PMN中，PM=PN，∠MPN的度数记为α，点A是边MN上的一动点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转角度α至BP位置，连接BN，AB.
（1）如图1，若α≠90°，点A在线段MN上时，证明：MA=NB；
（2）如图2，若α=90°，点A在射线MN上时，猜想：线段MA和线段NB的关系，并证明；
（3）如图3，若α=120°，点A在线段MN上，PM=PN=3，求△ABN周长的最小值.
26.(本小题9分)
数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论.现有a克糖水，其中含有b克糖（a＞b＞0），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为.
（1）糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为 ______ .生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式 ______ ，我们趣称为“糖水不等式”.
（2）糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为 ______ .根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式” ______ .
（3）请结合（2）探究得到的结论尝试证明：
设a、b、c为△ABC三边的长，求证：.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】B
12.【答案】3（m+2）（m-2）
13.【答案】a＞2
14.【答案】48
15.【答案】40
16.【答案】-2≤x＜1．
17.【答案】解：去分母得：4x=x+3，
解得：x=1，
把x=1代入得：2x（x+3）≠0，
∴分式方程的解为x=1．
18.【答案】；当a=1时，原式=-3；当a=0时，原式=-1．
19.【答案】-3 m＞-6且m≠-3
20.【答案】∵∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC．
21.【答案】a=-2，y=-x-1；
x＞-2．
22.【答案】见解析 见解析 （2，-1）
23.【答案】解：（1）设商品第二次的进价为x元，则第一次的进价为1.2x元，
由题意得：-=10，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=120，
答：商品第一次的进价为120元，第二次的进价为100元；
（2）由（1）可知，6000÷100=60（件），6000÷120=50（件），
设每件商品的售价是m元，
由题意得：50（m-120）+60（m-100）≥2300，
解得：m≥130，
答：每件商品的售价至少是130元．
24.【答案】（1）C；
（2）否，（x-2）4；
（3）设x2-2x=y,
则原式=y（y+2）+1
=y2+2y+1
=（y+1）2
=（x2-2x+1）2
=（x-1）4．
25.【答案】∵线段AP绕点P逆时针旋转角度α至BP，
∴AP=BP，∠APB=∠MPN=α．
∵∠MPN=∠APM+∠APN，∠APB=∠BPN+∠APN，
∴∠BPN=∠APM，
∵PM=PN，
∴△NPB≌△MPA（SAS）．
∴MA=NB MA=NB，MA⊥NB，
∵线段AP绕点P逆时针旋转角度α至BP，
∴AP=BP，∠APB=∠MPN=90°．
∵∠APB-∠APN=∠MPN-∠APN，
∴∠BPN=∠APM，
∵PM=PN，
∴△NPB≌△MPA（SAS）．
∴MA=NB，∠PNB=∠PMA．
∵α=90°，
∴∠PNB+∠PNM=∠PMA+∠PNM=90°，
∴MA⊥NB
26.【答案】（1）①，；
（2），；
（3）在△ABC中，a+b＞c,b+c＞a,c+a＞b,且a＞0，b＞0，c＞0，
∴，，，
由糖水不等式得，，，，
∴=2，
∴．
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