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2025-2026学年山东省淄博市沂源县九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在2，-1，π，-四个数中，最小的数是（　　）
A. B. 2 C. π D. -1
2.未来将是一个可以预见的AI时代.AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学.下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截至3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前位列全球影史票房第6名.其中149亿用科学记数法表示为（　　）
A. 14.9×109 B. 1.49×109 C. 1.49×1010 D. 0.149×1011
4.下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（　　）
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是（　　）
A. （ab3）2=a2b6 B. a3+a2=a5 C. a3 a2=a6 D. 2（a-b）=2a-b
6.为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产--“抖空竹”引入阳光特色大课间.下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=70°，∠ECD=100°，则∠E的度数是（　　）

A. 30° B. 40° C. 60° D. 70°
7.某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：55，57，65，55，65，70，65，78，68，70.对这组数据判断正确的是（　　）
A. 方差为3 B. 平均数为65 C. 众数为65 D. 中位数为67.5
8.如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数（k＞0，x＞0）图象上，若直线BC的函数表达式为，则k值为（　　）
A. 6
B. 12
C. 16
D. 24
9.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（　　）
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：（1，-1），，…都是“方形点”.下列结论：
①直线y=-4x+3上存在“方形点”；
②抛物线y=x2-5x+3上的2个“方形点”之间的距离是；
③若二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”（2，-2），当-1≤x≤m时，二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的最小值为-8，最大值为，则实数m的取值范围是-1≤m≤4；
其中，正确结论的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.因式分解：3x2-12= ．
12.已知a和b是方程x2+2025x-4=0的两个解，则a2+2024a-b的值为 .
13.如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=4m,OB=2m,则阴影部分的面积为 .（计算结果保留π）
14.张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个200m赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系.当两人相距20m时，出发的时间是 s.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB.∠OAB=90°.直角边AO在x轴上，且AO=1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1，绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O=2A1O依此规律，得到等腰直角三角形A2025OB2025，则点B2025的坐标为
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）计算：（2025）0+4sin60°+|-2-π|-2-1.
（2）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a,b的值）.
17.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE=DF，连接CE、CF.求证：CE=CF.
18.(本小题10分)
为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料.经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表.
参赛成绩 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
人数 m 15 n 40
级别 及格 中等 良好 优秀
请根据所给的信息解答下列问题：
（1）王老师抽取了______名学生的参赛成绩；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（x≥80）的学生有多少人？
（4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率.
19.(本小题10分)
新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车4S店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆.
（1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？
（2）该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？
20.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数y1=kx+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（2，m）、B（4，2）两点.
（1）求一次函数y1与反比例函数y2的解析式；
（2）根据图象回答，当时，x的取值范围为______；
（3）y轴上有一点P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为7时，求点P的坐标.
21.(本小题12分)
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC是直径，AB=BD，过点B作BE⊥DE交DC的延长线于点E.
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若，BE=3，求⊙O的半径.
22.(本小题13分)
二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作ED∥y轴，交x轴于点D，四边形CDAE的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标；
（3）如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点N（-5，0），连接NP，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得∠HNP+∠BCO=45°，若存在，请求出点H的坐标.
23.(本小题13分)
（一）模型呈现
（1）如图1，点A在直线l上，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC= ______，BC= ______.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验
（2）如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF=3，∠A=∠EDF=∠B，四边形CEDF的周长为10，△ABC的周长为18.小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到AE=BD，AD=BF，那么AB=AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB= ______；
（三）模型拓展
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.请猜想线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程；
（四）模型应用
（4）如图4，已知在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，点E在CD边上，且DE=4.P是对角线AC上一动点，Q是边AD上一动点，且满足，当P在AC上运动时，请求线段AQ的最大值，并求出此时线段AP的长度.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】3(x+2)(x-2）
12.【答案】2029
13.【答案】4πm2
14.【答案】20或26.5
15.【答案】（22025，-22025）
16.【答案】+2+π；
，-．
17.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠CBE=∠CDF，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴CE=CF．
18.【答案】100．
见解答．
约1200人．
．
19.【答案】每辆甲型汽车的进价为12万元，每辆乙型汽车的进价为10万元；
购进乙型汽车40辆，可使投资总额最少，最少投资总额是1120万元．
20.【答案】一次函数y1的解析式为y1=-x+6；
0＜x≤2或x≥4；
点P的坐标为（0，1）或（0，-0.5）．
21.【答案】（1）证明：如图，连接BO并延长交AD于点H，连接OD，
∵AB=BD，OA=OD，
∴BO垂直平分AD，
∴∠BHD=90°，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴四边形BEDH为矩形，
∴∠OBE=90°，
∵OB为⊙O的半径，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BDE中，
∵，BE=3，
∴，
∵四边形BEDH为矩形，
∴DH=BE=3，，
设⊙O的半径为r,
则，OD=r,
在Rt△ODH中，，
解得，
即⊙O的半径为．
22.【答案】y=x2+2x-3；
四边形CDAE的面积存在最大值；E点坐标为（-1，-4）；
在抛物线的对称轴上存在一点H，使得∠HNP+∠BCO=45°；点H的坐标为或（-1，-12）．
23.【答案】解：（1）DE；AE；
∵∠1+∠2=∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SAS）
∴AC=DE，BC=AE，
故答案为：DE；AE；
（2）7.
∵∠ADF=∠B+∠BFD=∠ADE+∠EDF，且∠A=∠B=∠EDF，
∴∠ADE=∠BFD，
在△ADE和△BFD中，
，
∴△ADE≌△BFD（AAS），
∴AE=BD，AD=BF，
∵四边形CEDF的周长为10，DE=DF=3，
∴CE+CF=20-DE-DF=10-3-3=4，
又∵△ABC的周长为18，
∴AE+AD+BD+BF=18-（CE+CF）=18-4=14，
∵AE=BD，AD=BF，
∴2（AD+BD）=14，
∴AD+BD=7，
即AB=7．，
故答案为：7；
（3）数量关系为：，
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ACC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∴△ACD∽△CBE，
又∵AC=2BC，
∴AD=2CE，CD=2BE，
∵DE=DC-CE，
∴；
（4）在AC上找一点F使∠EFP=∠DAC，延长FE交AD的延长线于点G，过点G作AC的垂线，垂足为M，过点F作AD的垂线，垂足为N．
在矩形ABCD中，∵AB=14，BC=7，
∴，
∴，
∵，
∴∠EFP=∠DAC=∠EPQ，
∴△AQP∽△FPE，AG=GF，
∴△GAF为等腰三角形，
∴AM=MF，
设AM=MF=a,则AF=2a,
∵，
∴，
∴，
又∵tan∠DGE=tan∠NGF，
∴，
又∵DE=4，
∴DG=3，EG=5，
∴AG=GF=10，
∴，
设AQ=y,AP=x,
∵△AQP∽△FPE，
∴，
∴，
即，
∵，对称轴为：直线，
∴当时，ymax=4，
即当时AQmax=4．
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