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2025-2026学年上海市金山区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 正五边形
2.在平面直角坐标系中，点P（a2+1，2）位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.四边形的不稳定性在实际生活中有着广泛的应用，即四边形的边长一定时，可以发生改变的是（　　）
A. 内角和 B. 内角大小 C. 周长 D. 外角和
4.北斗七星是大熊座的一部分，古代人们把这七颗星命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光.因为将这七星相连所成的形状类似古代舀酒的斗，故名北斗.爱好天文的小明将自己观察到的北斗七星画在如图所示的方格纸上，建立适当的平面直角坐标系后，表示“摇光”的点的坐标为（-4，2），表示“开阳”的点的坐标为（0，3），则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为（　　）
A. （1，-2） B. （6，-1） C. （5，-1） D. （7，0）
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（　　）
A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. AB=CD
D. AB⊥CD
6.在矩形ABCD中，AB＜BC，点E在边AB上，点F在边BC上，联结DE、DF、EF，AB=a,BE=CF=b,DE=c,∠BEF=∠DFC，以下两个结论：①a+b≥；②（a+b）2+（a-b）2=c2.（　　）
A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.如果从多边形的一个顶点出发的对角线有5条，那么它的边数是 .
8.在平面直角坐标系中，点（3，-1）到原点的距离为 .
9.已知平行四边形ABCD中，∠A-∠B=60°，则∠B的度数是 .
10.若点A（3-x,x-5）在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是 .
11.如图，以正方形ABCD的边AD为一边向外作等边三角形ADE，则∠AEB的大小为 .
12.在平面直角坐标系中，已知点P（a-1，5）和点Q（2，b-1）为关于x轴对称，则（a+b）2025= .
13.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是32，OE=3，则四边形ABFE的周长为 .
14.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16，BD=12，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH=______．
15.如图.四边形OABC是平行四边形，点A，C的坐标分别为（4，1），（-1，1），则点B的坐标为 .
16.如图，点G是△ABC的重心，四边形ADGE与△ABC面积的比值是 .
17.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为 .
18.已知矩形ABCD中，AB=5，连接AC，点D关于AC的对称点为点E，如果点E到直线BC的距离不超过3，设AD的长度为m,则m的取值范围是 .
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
已知一个多边形的内角和为1080°.
（1）求这个多边形的边数；
（2）如果这个多边形每个内角都相等，求每个外角的度数.
20.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系内，有一点A，将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B.
（1）写出点A，点B的坐标；
（2）如果点C在y轴上，且∠ABC=∠ACB.求点C的坐标.
21.(本小题5分)
如图，已知：在平行四边形ABCD中，AF=CE.求证：四边形BFDE是一个平行四边形.
22.(本小题5分)
综合与实践：恺撒密码
恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文.例如，向前移动3位（密钥k=3）的恺撒密码，如图1所示；为方便使用恺撒密码进行加密和解密，可以使用密码盘如图2所示.
（1）“解密”：已知密钥k=3，密文uhdgb所对应的明文是______.
（2）“加密”：已知密钥k=8，明文enjoy所对应的密文是______.
（3）“猜猜我是谁”：
信息一：“我的身份经过了双重加密，密文为“rdykqravw”，左起奇数位密钥为a,偶数位密钥为b.
信息二：密钥隐于坐标：已知点P（a,b）位于第一象限，到x轴距离为3，到y轴的距离为5.
根据以上信息，点P的坐标为______，我的身份对应的明文是______.
23.(本小题7分)
已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，将△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在腰CD上的点E处.
（1）如图，当点E是腰CD的中点时，求证：△BCD是等边三角形；
（2）延长BE交线段AD的延长线于点F，联结CF，如果CE=DF，请画出符合题意的图形，并证明：四边形ABCF是矩形.
24.(本小题7分)
阅读材料：
金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究.
已知：如图（1），已知：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点.求证：DE∥BC，且.
下面是几位同学的探究过程：
甲：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE的延长线于点F.
乙：连接BE，CD，过点A作AF⊥DE，垂足为F，分别过点B、C作BG⊥DE，CH⊥DE，交ED、DE延长线于点G、H.
丙：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC、DC、AF.
丁：以点B为原点建立平面直角坐标系，设点A的坐标为（x1，y1），点C的坐标为（x2，0）.
任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有______（填人名）.
任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整.
任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现B、C两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于BC），某同学提出方案“我们可以在与BC平行的人行步道上的点A、D处作好标记，通过皮尺找到AB与DC的中点M、N，通过皮尺测量AD，MN的长度，就可以估算出B、C两点间的距离了”.
若测得AD=m,MN=n,请直接写出B、C两点间的距离.（用含m、n的代数式表示）
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，已知点A（2a,0）、B（0，2b）、C（-a、3b）.若a、b满足.
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P（m,n）为坐标平面内一点（m＞0）.
①若△OBP的面积大于，求m的取值范围；
②若点P在直线x=8上，且满足S△ABP=2S△BOC，求点P的坐标.
26.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，点P是边BC中点，AP与BD交于点E.
（1）连接CE，当EA=EC时，
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②若AB=5，AE=3，求BD的长；（提示：构造三角形重心）
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，若点C、E、F共线，且满足，求的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】8
8.【答案】
9.【答案】60°
10.【答案】x＞5
11.【答案】15°
12.【答案】-1
13.【答案】22
14.【答案】
15.【答案】（3，2）
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】≤m≤10
19.【答案】8 45°
20.【答案】点A的坐标为（3，2）；点B的坐标为（0，-2） 点C的坐标为（0，6）
21.【答案】连接BD与AC交于点O．
∵OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）．
∵AF=CE，
∴AF-OA=CE-OC，
即 OE=OF．
又∵OB=OD，
∴四边形 BFDE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
22.【答案】ready mvrwg （5，3）;mathlover
23.【答案】由折叠得：∠ADB=∠BDE，∠A=∠DEB=90°．
∵点E是腰CD的中点，
∴BE是DC的垂直平分线，
∴DB=BC，
∴∠BDE=∠C，
∴∠BDE=∠C=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C=180°，
∴∠BDE+∠C+∠ADB=180°，
∴∠BDE=∠C=∠ADB=60°，
∴△BCD是等边三角形 过点D作DH⊥BC，垂足为H，
证明：∴∠DHB=∠DHC=90°，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠ABC=180°-∠A=90°，
∴四边形ABHD 是矩形，
∴AD=BH，AB=DH，
由折叠得：∠A=∠DEB=90°，AB=BE，
∴∠BEC=180°-∠DEB=90°，DH=BE，
∵∠BEC=∠DHC=90°，∠BCE=∠DCH，
∴△BCE≌△DCH（AAS），
∴DC=BC，CE=CH，
∵DF=CE，
∴CH=DF，
∴AD+DF=BH+CH，
∴AF=BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCF是矩形
24.【答案】甲，乙，丙，丁
25.【答案】A（6，0），B（0，2），C（-3，3） ①m＞3，
②点P的坐标为（8，）或（8，-）
26.【答案】①如图，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵AE=CE，
∴OE⊥AC，
即AC⊥BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；②BD=6
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