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2025-2026学年福建省厦门市同安区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026年3月，十四届全国人大四次会议在北京胜利召开，为“十五五”开局擘画蓝图.若一个数与2026的和为0，则这个数是（　　）
A. -2026 B. 2026 C. |2026| D.
2.要使式子有意义，则x的值可以是（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.如图是飞机在空中展示的轴对称队形.以飞机B，C所在直线为x轴，队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.若飞机E的坐标为（40，a），飞机D，E关于y轴对称，则飞机D的坐标为（　　）
A. （-40，a） B. （40，-a） C. （-40，-a） D. （a,-40）
4.图是某商品1～4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最大的是（　　）
A. 1月 B. 2月 C. 3月 D. 4月
5.已知△ABC中，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A. ∠A：∠B：∠C=1：1：2 B. a：b：c=1：1：2
C. ∠C=∠B-∠A D. c2-b2=a2
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=1，以点B为圆心，以BC为半径画弧交数轴于点D（点D位于点B的右侧），则点D所表示的数为（　　）
A. B. C. D.
7.如图：有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的接点距离相等，相邻电表的距离相等，且相邻电路的接点距离等于相邻电表接入点的距离，电线对应平行排列，则三户所用电线（　　）
A. a户最长
B. b户最长
C. c户最长
D. 三户一样长
8.下列选项中，y是x的函数的是（　　）
A. |y|=x
B. 多边形的边数为x,内角和为y,则y与x的关系
C.
x 9 4 0 4 9
y -3 -2 0 2 3
D.
9.如图，AB∥CD，AD，BC相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是（　　）
A. △ABC和△ABD
B. △ACD和△BCD
C. △AOC和△BOD
D. △AOB和△COD
10.在边长为1的正方形ABCD中，点E是BC边上的动点（不与点B，C重合），连接AE，点B′是点B关于AE的对称点，连接EB′并延长，交CD于点F，连接AF.下列结论：
①点A到EF的距离恒为1；
②∠EAF=45°；
③CE+CF＜1；
④△AEF的面积；
正确的结论有（　　）
A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，∠BOD的度数是 ．
12.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km,则M，C两点间的距离是 km.
13.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.正方形A，B，C，D的面积分别是3，6，3，4，则正方形G的面积是 .
14.如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，BC=6，CD=4，G为线段BC的中点，连接AG，E，F分别为AG，AD的中点，则EF的长为 .
15.如图，在平面直角坐标系中，A（0，-3），B（4，0），菱形ABCD的边AD在y轴上，则点D的坐标是 .
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限内.当点A在x轴的正半轴上运动时，点C随之运动，则点B到原点O的最大距离为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：.
18.(本小题8分)
如图，在 ABCD中，AE=CF．证明：BE=DF．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题8分)
如图，木工从一个大正方形ABCD的木板上裁出两个小正方形AHFE和FICG，面积分别为9cm2和18cm2的木料.
（1）求剩余木料（空白部分）的总面积；
（2）若木工想利用剩余的两块木料裁出长4cm,宽1.5cm的矩形木条（沿着平行于木料边的方向裁剪），则剩余的两块木料最多可以裁出几块这样的木条？
21.(本小题8分)
在探究“在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体质量的关系”时，桐桐采用了如图装置进行探究.实验中，她测得的弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（0≤x≤10）（单位：kg）的数据如表所示：
所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4
弹簧的长度y/cm 15 17 19 21 23
（1）求弹簧的长度y关于所挂物体质量x（0≤x≤10）的函数解析式；
（2）当物体所挂质量为6kg时，弹簧的长度是多少？
22.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是平行四边形.
（1）求作菱形ABEF，使得点E，F分别落在边BC，AD上；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠B=60°，，求菱形ABEF的面积.
23.(本小题10分)
设a,b,c是互不相等的正整数，若，，均为正整数，则称a,b,c为“共生平方数”.
例如：对于1，4，9这三个数，
，，，且2，3，6都是正整数，因此，1，4，9这三个数称为“共生平方数”.
（1）请你判断4，16，25这三个数是不是“共生平方数”，并证明；
（2）已知3，12，m是“共生平方数”.
①若m＜100，求出m的值；
②试求出m并验证.
24.(本小题13分)
公元折纸艺术起源于中国，其历史可追溯到583年.折纸艺术不仅具有艺术审美价值，还蕴含数学运算和空间几何原理.它与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支.小安通过近期的学习发现，与矩形有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个探究活动.
已知矩形纸片ABCD长AD=9，宽AB=3.小安按下面的步骤折纸：
第一步：如图1，沿矩形纸片ABCD的对角线AC，BD折叠，折痕AC与BD交于点O，再展开铺平；
第二步：如图2，点G为线段AD上一点，且连接GO并延长，交BC于点H.将矩形纸片ABCD沿GH折叠，使点D，C落在点D′，C′处，线段GD′交BC于点F.
（1）求证△GFH为等腰三角形.
（2）连接OF，OC′，若OF=OC′，求HC的长.
25.(本小题13分)
如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC延长线上的一点，AE⊥EF，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
（1）求∠ECF的度数.
（2）若FG垂直于射线BC，垂足为点G.请判断EG的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】70°
12.【答案】1
13.【答案】16
14.【答案】
15.【答案】（0，2）
16.【答案】+1
17.【答案】．
18.【答案】证明：方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，且AD∥BC．（平行四边形对边平行且相等）
又∵AE=CF，（已知）
∴ED=BF，且ED∥BF．
∴四边形EDFB是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴EB=DF（平行四边形对边相等）；
方法二∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C．（平行四边形对边相等，对角相等）
在△AEB和△CFD中，
∵AE=CF，（已知）
AB=CD，∠A=∠C
∴△AEB≌△CFD（SAS）
∴EB=DF（全等三角形对应边相等）．
19.【答案】，．
20.【答案】18cm2 4块
21.【答案】y=2x+15（0≤x≤10） 当物体所挂质量为6kg时，弹簧的长度是27cm
22.【答案】如图，四边形ABEF即为所求； 2
23.【答案】4，16，25这三个数是“共生平方数”，证明如下：
∵，=10，，且8，10，20都是正整数，
∴4，16，25这三个数是“共生平方数” ①m的值为27，48，75；②m=3k2（k为大于2的正整数），
验证：当m=3k2（k为大于2的正整数）时，m=3k2＞3×22=12，
∴3，12，m是互不相等的正整数，
∵=6，，=3k，且6，6k，3k都是正整数，
∴3，12，3k2（k为大于2的正整数）这三个数是“共生平方数”
24.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DGH=∠GHF，
∵沿矩形纸片ABCD的对角线AC，BD折叠，
∴∠DGH=∠FGH，
∴∠FGH=∠FHG，
∴FG=FH，
∴△GFH为等腰三角形 CH=4
25.【答案】45° EG的长为定值，证明如下：在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接EN，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BAD=90°，AD∥BC，
∴AB+AN=BC+CE，∠DAN=180°-∠BAD=90°，
∴BN=BE，
在△BNE中，∠B=90°，BN=BE，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴∠N=45°，
由（1）可知：∠ECF=45°，
∴∠N=∠ECF=45°，
∴AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠DAN=∠AEF=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠CEA，
∴∠DAN+∠DAE=∠AEF+∠CEA，
∴∠NAE=∠CEF，
在△NAE和△CEF中，
，
∴△NAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF，
∵FG⊥射线BC于点G，
∴∠G=90°，
∴∠B=∠G=90°，△EGF是直角三角形，
在Rt△EGF中，∠GEF+∠GFE=90°，
又∵∠BEA+∠GEF=180°-∠AEF=90°，
∴∠BEA=∠GFE，
在△BEA和△GFE中，
，
∴△BEA≌△GFE（AAS），
∴BC=EG，
∴BC是正方形ABCD的边，为定值，
∴EG为定值
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