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浙江杭州市临安区2025-2026学年第二学期期中学业水平测试八年级（数学）试题卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中一定是二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.下列等式正确的是（）
A. B. C. D.
3.某互联网公司由三个部门组成，共有名员工，年各部门人数及相应的人均年利润如表所示：该公司年人均年利润为（ ）
部门 人数 人均年利润/万元
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
4.用配方法求解方程，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（　　）
A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
6.学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（ ）
A. 竖直摆放可以直接进门 B. 水平横放可以直接进门
C. 斜着沿门框对角线能进门 D. 怎么都无法进门
7.某班数学成绩按平时成绩和期末成绩加权计算总分，已知小辉平时成绩为分，期末成绩为分，加权平均数为分，平时成绩的所占权重比例为（ ）
A. B. C. D.
8.已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
9.有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
10.五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在进入避险车道上的速度与路程的关系式为，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为，则刚进入避险车道时的速度是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.化简： ．
12.若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是 ．
13.要使二次根式在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ．
14.已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为 ．
15.观察下列等式：；；；按照这个规律，若某个正整数n对应的等式结果为255，则 ．
16.在矩形中，，，现将矩形沿对角线剪开，拼成一个新的平行四边形（不重叠、无缝隙），若该平行四边形的一条对角线长为，则这个平行四边形较长一边的边长为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
17.计算：
(1) ；
(2) ．
18.解方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数）
(1) 求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数；
(2) 根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由．
20.(本小题10分)
已知实数满足，
(1) 求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程；
(2) 若，求的值．
21.(本小题12分)
近年来，因为高空抛物导致的人员伤亡和经济损失越来越严重．为了弄清楚高空抛物的危害，小临请教了科学老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式：（不考虑风速的影响，，已知小临所住小区楼层高度规律为第楼高度．
(1) 小临家在2楼，即，假如一个物品从小临家坠落，求该物品落地时的速度；
(2) 计算当从楼坠落时，物品落地时的速度．
22.(本小题12分)
已知某山核桃种植合作社拥有山核桃林100亩．往年采用传统人工授粉，平均每亩的产量为100千克．今年，该合作社决定全面采用无人机辅助授粉新技术．
(1) 经过测算，若采用无人机授粉，核桃的亩产量将得到提升，假设亩产量的年平均增长率为，经过两年（即两次增长周期）的技术优化与推广，预计每亩产量将达到169千克．请根据题意，列出关于的一元二次方程，并求出年平均增长率．
(2) 在考虑成本与收益时，合作社发现：无人机授粉虽然提高了产量，但也增加了投入，已知当无人机授粉的作业面积不超过60亩时，作业面积的每亩净利润为3400元；若作业面积超过60亩，由于设备调度和花粉损耗增加，每增加1亩，所有作业面积的每亩净利润就会降低20元．若该合作社希望今年作业面积的总净利润为224000元．请问他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉？
解：设他们应该安排亩山核桃林进行无人机授粉．
①当时，总净利润为：元元，不满足题意，
当时，总净利润为：_____（列方程）；
②求出他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉．
23.(本小题12分)
【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释．
如图，黄金矩形按如下方式构造：
1.作正方形，边长；
2.取的中点；
3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点；
4.过点作的垂线，交延长线于点．
经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：．
【知识回顾】素材1：；素材2：．
【解决问题】
(1) 化简：；
(2) 根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由．
24.(本小题12分)
已知长方形的长和宽分别为．
(1) 当周长为时，
①请用含有的式子表示这个长方形的面积．
②当面积为时，求这个长方形的长和宽．
(2) 当周长为时，证明：当时，总能围成面积为的长方形．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】3
12.【答案】14
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】15
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
原式
；
【小题2】
原式
．

18.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．

19.【答案】【小题1】
解：第一步：将型号数据从小到大排序：
1.18，1.19，1.22，1.23，1.24，1.25，1.26，1.28，1.30，1.31
中位数：共10个数据，取第5，6个数的平均值（秒），
下四分位数：取前5个数的中位数，即第3个数为1.22（秒），
上四分位数：取后5个数的中位数，即第8个数为1.28（秒）；
【小题2】
解：①集中趋势对比：
型号中位数为1.245秒，型号中位数为1.24秒，两者数值非常接近，说明两款机器人完成动作的平均耗时水平相当．
②离散程度对比：
型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.28－1.22＝0.06秒，极差，
型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.27－1.21＝0.06秒，极差，
两款机器人的上四分位数与下四分位数的差相同，说明中间数据的波动程度一致；但型号的极差更小，说明整体数据的离散程度更低，型号机器人的动作耗时更稳定．

20.【答案】【小题1】
解：设一元二次方程为．
，
，
，
∴一元二次方程为；
【小题2】
解：由题意，得和是一元二次方程的两个实数根，
．
∴的值为．

21.【答案】【小题1】
解：当时，，
可得；
答：该物品落地时的速度为．
【小题2】
，

．
．
答：当从楼坠落时，物品落地时的速度为．

22.【答案】【小题1】
解：依题意，得
，
解得：（舍），
因增长率为正，故舍去负根，
∴增长率为．
答：年平均增长率为30%；
【小题2】
解：①当时，总净利润为：；
②，
解得：，
因为合作社共拥有山核桃林100亩，所以，故不符合题意，应舍去，
∴．
答：应该安排70亩山核桃林进行无人机授粉．

23.【答案】【小题1】
解：；
【小题2】
解：根据作图可知，，
在中，，
，
，
长方形也是黄金矩形．

24.【答案】【小题1】
解：①已知周长为，根据周长公式：，
化简得：，
因此，长方形的面积．
②已知面积为，代入①的结果：，整理为一元二次方程得：
，
因式分解得：，解得或．
当时，，此时长比宽小，不符合题意；
当时，，此时长比宽大，符合题意；
所以长为，宽为．
【小题2】
证明：已知周长为，则，即，
要围成面积为的长方形，需满足：，
整理方程：，
计算根的判别式：，
当时，，则，即，
因此，当时，总能围成面积为的长方形．

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