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浙江杭州市临安区2025-2026学年下学期九年级期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将实数，，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（ ）
A. B. C. D. 0
2.生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体．如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是（）
A. B. C. D.
3.第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达6.02亿人，较2024年底增长141.7%，将数据602000000用科学记数法表示为（　　）
A. 0.602×1011 B. 6.02×1010 C. 6.02×109 D. 6.02×108
4.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
5.某班级进行综合素质评价，以学习态度、课堂表现、作业完成、小组合作四项进行打分，各项权重依次为．小明四项得分分别为：7分，8分，9分，6分，则小明的最终得分是（ ）
A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分
6.皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（ ）
A. B. C. D.
7.如图所示为一张矩形纸片ABCD,圆圆和方方在探究矩形和菱形的联系,通过尺规作图在矩形中作出一个菱形.圆圆的作法是:连结对角线BD,作BD的中垂线分别交BC,AD于点E,F,连结BF,DE,则四边形BEDF是菱形.方方的作法是:作BC的中垂线分别交BC,AD于点E,F,连结BF,DE,则四边形BEDF是菱形.对于两人的作法, 判断( )
A. 两人都正确 B. 两人都错误 C. 圆圆正确,方方错误 D. 圆圆错误,方方正确
8.《张丘建算经》是中国古代数学的重要典籍，书中记载了著名的“百钱买百鸡”问题．现有一道“买鸡”问题如下：“鸡翁每只值五钱；鸡母每只值三钱；鸡雏每三只值一钱．”某人用五十六钱买鸡三十只，且鸡翁的数量比鸡母多两只．问鸡翁，鸡母，鸡雏各有几只？设鸡母x只，鸡雏y只，根据题意可列方程组，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
9.如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（ ）
A. B. C. 6 D. 8
10.已知抛物线y=+kx+3(k为常数)，点P(m，s)，Q(m+2，s)，N(2，t)在抛物线上，且满足s< t<3，则m的取值范围是( )
A. m>2 B. m<2 C. m>-2 D. m<-2
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.因式分解： ．
12.若，则 ．
13.如图，在中，，，是的中点，是上一点，已知，，，则 ．
14.某学校引入智能学习工具，提供3项智能学习功能：口语测评，错题整理，知识点抽测，圆圆和方方随机选择一种功能使用，则两人恰好选中同一种学习功能的概率是 ．
15.某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短 （用含的代数式表示）．
16.如图，是的内接三角形，平分，若，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.计算：．
四、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
解不等式：，并把它的解表示在数轴上．
19.(本小题10分)
如图，在中，，过点作边上的高线，．
(1) 求的长；
(2) 若，求的长．
20.(本小题15分)
某校为了制订学生跳绳项目合格成绩的衡量标准，随机抽取25名学生的1分钟跳绳测试成绩，从小到大排序，获得以下数据（单位：个）：73，96，120，130，138，145，149，152，154，157，165，168，169，171，172，177，180，184，186，188，191，194，200，208，239．
(1) 求这25名同学跳绳成绩的中位数；
(2) 为制定及格标准和优秀标准，以中位数（不包含该数）左右侧数据的中位数分别作为及格标准和优秀标准，求及格标准和优秀标准；
(3) 在（2）的基础上，该校七年级共有400名学生，请估计达到优秀标准的学生人数．
21.(本小题10分)
考拉兹猜想（又称猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行考拉兹运算：
第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步：
(1) 若从某正整数出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数；
(2) 小杭同学说：若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想．
为偶数
若为奇数，则下一步考拉兹运算后为；
若为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数，则下一步考拉兹运算得到；
可以多次考拉兹运算为的形式；
一定也符合考拉兹猜想．
若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想．
22.(本小题10分)
如图，是的半径，弦垂直平分，以为边向圆外作等边，连接．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，求图中阴影部分的面积．
23.(本小题15分)
某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离米和飞行高度米的数据，记录数据如下表：
照相机频闪时间/ s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
水平距离米 0 5 10 15 20 25 30 …
飞行高度米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 …
(1) 根据表格中的数据描点，连线，发现与近似地满足二次函数关系，请写出与之间的函数表达式；
(2) 根据表格数据，可知水平距离与时间满足关系式．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间；
(3) 乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度（米）与水平距离（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？
24.(本小题10分)
如图1，点是正方形对角线延长线上一点，．连结，，将线段绕着点逆时针旋转一定的角度后与的延长线交于点．
(1) 求证：①是等腰三角形；
②；
(2) 连交于点，设，的面积为，求与的关系式．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】 /
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：
．

18.【答案】解：
，
，
；
把解表示在数轴上如图：

19.【答案】【小题1】
解：为边上的高线，
，
，，
，
；
【小题2】
解：，，
，
，，
．

20.【答案】【小题1】
解：将25名学生的成绩从小到大排序后，处于中间位置的是第13个数据，为169，
故中位数为169．
【小题2】
解：中位数左侧有12个数据，处于中间位置的数据是145，149，故左侧数据的中位数为，
中位数右侧有12个数据，处于中间位置的数据是186，188，故右侧数据的中位数为，
所以及格标准是147，优秀标准是187．
【小题3】
解：样本中达到优秀标准的学生有6人，
所以估计达到优秀标准的学生人数为（人）．

21.【答案】【小题1】
解：当为偶数时：，
，
当为奇数时：，
，
或32；
【小题2】
解：为任意正整数，
为奇数，
则下一步考拉兹运算结果为.
为偶数，
则下一步考拉兹运算结果为.
为偶数，
则下一步考拉兹运算结果为，
∴经过三步考拉兹运算后得到．
∵为正整数，
∴是形如（为正整数）的数．根据题设，形如的数均符合考拉兹猜想，故一定也符合考拉兹猜想．

22.【答案】【小题1】
证明：连接，
∵是的半径，弦垂直平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵以为边向圆外作等边，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
【小题2】
解：设交于点E，
∵于点E，且，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．

23.【答案】【小题1】
解：设，将、、代入，得
，
；
【小题2】
解：令，，
，，
将，代入得，
得，，
持续时间秒．
【小题3】
解：设高度差为，
，
当水平距离为20米时，最大高度差为4米．

24.【答案】【小题1】
证明：①∵是正方形的对角线，
平分，即，
又，
在和中，
，
∴
.
∵，
∴，
∴为等腰三角形；
②过点作，交于点，则，
，且，
，
在正方形中，对角线，
又，
，即，
，
∴，
，
；
【小题2】
解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，
，
，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
，
同理可得，
，
∵，
同理得：，即,
∴，
，
．

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