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福建漳州市漳浦县2025-2026学年八年级下期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.2026年春晚主题为“骐骥驰骋势不可挡”，其主标识以“四马齐驱”为核心创意，融合中国传统云纹、雷纹、回纹，勾勒出四匹骏马齐头并进、拾级而上的动态意象，象征团结奋进、势不可挡的时代精神．请你根据图形判断该主标识属于哪种数学变换（）
A. 轴对称 B. 中心对称 C. 平移 D. 旋转
3.如图是车辆限高标志，车辆的高的范围可表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.下列命题为真命题的是（）
A. 等腰三角形的底角必为锐角 B. 有一个角是的三角形是等边三角形
C. 等腰三角形的顶角一定是锐角 D. 斜边相等的两个直角三角形全等
5.下列四张扑克牌各自旋转后，图案不发生改变的是（ ）
A. B. C. D.
6.将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7.用反证法证明命题“在中，，求证：”的第一步应先假设（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
10.运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置从点运动到了点，则的度数为 ．
12.若数轴上从左到右顺次排列的2个点分别表示两个实数1+a和-a,则a的取值范围是 .
13.如图，一次函数（，是常数）的图象，则不等式的解集是 ．
14.最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角．如图，其中，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗站立时高度 ．
15.如图，点I为的平分线和的平分线的交点，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为 ．
16.点沿着动点所在的直线方向平移个单位长度到点，则点的坐标为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．求证：△BCD为等腰三角形．
19.(本小题8分)
在2026年春晚舞台上，《武BOT》中呈现的人形机器人与武术演员同台表演形式．该表演将传统武术与智能科技结合，展示空翻、耍棍、醉拳及六合拳对练等高难度动作．在舞台台面上建立一个平面直角坐标系．如图，三个机器人、、构成，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称．
(1) 在图中画出；
(2) 为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出；
(3) 队形继续变换，绕点顺时针旋转得到，则此时的坐标 ．
20.(本小题8分)
证明命题：在三角形中，如果某个角的平分线与这个角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．学习小组通过作垂线以及证明全等的思路得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明：
(1) 尺规作图：过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 已知：在中，平分交于点，是的中点，于点，于点．求证：是等腰三角形．
21.(本小题8分)
如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC＝120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．
(1) 写出旋转角的度数；
(2) 求证：∠A1AC＝∠C1．
22.(本小题8分)
为落实“十五五”绿色低碳发展，我县交通局计划采购一批新能源公交车，包括纯电动公交车和氢燃料公交车两种车型．每辆纯电动公交车售价120万元，每辆氢燃料公交车售价180万元，交通局共采购两种车型20辆．
(1) 若总购车款为3000万元，求采购的纯电动公交车和氢燃料公交车各多少辆？
(2) 若每辆纯电动公交车每年可减少碳排放60吨，每辆氢燃料公交车每年可减少碳排放80吨．交通局要求这批新车每年减少的碳排放总量不低于1400吨，则纯电动公交车的数量最多可以是多少辆？
23.(本小题9分)
【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
【探究发现】
(1) 填写下表：
正多边形的边数 3 4 5 6 8
正多边形每个外角的度数
(2) 若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有 （填序号）①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形
(3) 【拓展应用】
如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数．
24.(本小题10分)
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则．
(1) 根据上述定义填空： ；
(2) 关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围；
(3) 若，求所有满足条件的实数的值．
25.(本小题13分)
如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠ AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
(1) 求OC、BC的长；
(2) 当t＝1时，求△CPQ的面积；
(3) 当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】 /50度
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】4
16.【答案】或
17.【答案】解：，
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集是，
∴在数轴上表示为：

18.【答案】证明：∵∠BAC=75°，∠ACB=35°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=35°，
∴∠DBC=∠ACB=35°，
∴DB=DC，
∴△BCD为等腰三角形．
19.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求．
【小题2】
解：如图，即为所求．
【小题3】


20.【答案】【小题1】
解：过点D作的垂线如下图：
【小题2】
证明：∵于点E，于点F，
∴．
又平分，
∴．
又∵D是的中点，
∴．
∴．
∴，即．
∴，
∴是等腰三角形．

21.【答案】【小题1】
解：∵∠ABC=120°，
∴∠CBC1=180°-∠ABC=180°-120°=60°，
∴旋转角为60°；
【小题2】
证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB，∠C=∠C1，
由（1）知，∠ABA1=60°，
∴△A1AB是等边三角形，
∴∠BAA1=60°，
∴∠BAA1=∠CBC1，
∴AA1// BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠A1AC=∠C（两直线平行，内错角相等），
∴∠A1AC=∠C1．

22.【答案】【小题1】
解：设采购的纯电动公交车x辆，氢燃料公交车y辆，
根据题意，得，
解得，
所以采购的纯电动公交车10辆，氢燃料公交车10辆；
【小题2】
解：设纯电动公交车为a辆，则氢燃料公交车辆，
根据题意，得，
解得，
所以纯电动公交车最多可以是10辆．

23.【答案】【小题1】

【小题2】
①③
【小题3】
解：∵正五边形的内角为，
∴．

24.【答案】【小题1】
3
【小题2】
解：解不等式组，得，
∵不等式组的整数解恰好有个，
∴，
∵为非负整数，
∴，
∴；
【小题3】
解：∵且为整数，
∴设，为整数且，则，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴或，
∴或．

25.【答案】【小题1】
∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，
∴∠B＝30°，
∴OA＝ OB＝，
由勾股定理得：AB＝3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，
∴OC＝BC，
在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，
∴（）2+（3﹣OC）2＝OC2，
∴OC＝2＝BC，
∴OC＝2，BC＝2．
【小题2】
如图1﹣1中，作CH⊥PQ于H．当t＝1时，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，
∴PQ // OB，
∴∠CPQ＝∠B＝30°，
∵CQ＝CP．CH⊥QP，
∴QH＝PH，
∴CH＝ PC＝， QH＝PH＝ CH＝，
∴QP＝
∴S△PQC＝ PQ CH＝××＝．
【小题3】
如图（2）所示：
∵ON⊥OB，
∴∠NOB＝90°，
∵∠B＝30°，∠A＝90°，
∴∠AOB＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，
①OM＝PM时，
∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，
∴OP＝2OQ，
∴2（t﹣2）＝4﹣t，
解得：t＝，
②PM＝OP时，
此时∠PMO＝∠MOP＝30°，
∴∠MPO＝120°，
∵∠QOP＝60°，
∴此时不存在；
③OM＝OP时，
过P作PG⊥ON于G，
OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，
∴∠OPG＝30°，
∴GO＝（4﹣ t），PG＝（4﹣ t），
∵∠AOC＝30°，OM＝OP，
∴∠OPM＝∠OMP＝75°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，
∴PG＝QG＝（4﹣ t），
∵OG+QG＝OQ，
∴（4﹣ t）+（4﹣ t）＝t﹣2，
解得：t＝．
综合上述：当t为或时，△ OPM是等腰三角形．

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