资源简介

福建省龙岩市长汀县2025-2026学年第二学期期中质量监测九年级数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.已知实数，满足，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.抛物线y＝（x＋2）2-2的顶点坐标是（ ）
A. （2，－2） B. （2，2） C. （－2，2） D. （－2，－2）
5.下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A. 经过路口，恰好遇到绿灯 B. 从只有红球的袋子中摸出白球
C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上
6.如图，在平面直角坐标系中，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
7.若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
8.如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值不等于的是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，点A，B，D在⊙O上，CD垂直平分AB，交AB于点C.若AB=CD=4，则⊙O的半径为（　　）
A.
B. 2
C.
D. 3
10.在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y=ax2-2ax（a＞0），则下列结论中正确的是（　　）
A. 当x1＜0且y1 y2＜0时，则0＜x2＜2 B. 当x1＜x2＜1时，则y1＜y2
C. 当x1＜0且y1 y2＞0时，则0＜x2＜2 D. 当x1＞x2＞1时，则y1＜y2
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.分解因式：a2+2a= ．
12.已知一组数据，，，，的众数为3，则平均数为 ．
13.当x_ 时，分式有意义．
14.定义：若，则称与互为平衡数，若与互为平衡数，则代数式 ．
15.如图，是的直径，点都在上，若，则的度数是 ．
16.如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
解方程组：
19.(本小题6分)
2026年央视春晚推出了三个极具科技感的热门节目：武术《武》、歌曲《智造未来》、歌咏创意秀《贺花神》．
(1) 若小明从三个节目中随机选择一个节目回看，恰好是武术《武》的概率是 ；
(2) 若小丽从三个节目中随机选择两个节目回看，请用列表法或画树状图的方法，求她选择《智造未来》和《贺花神》的概率．
20.(本小题8分)
已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF．求证：AE=AF．
21.(本小题10分)
如图，在中，为边上一点．
(1) 在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在（1）的条件下，若，，求的长．
22.(本小题10分)
清溪中学科技社团选择一水槽进行光的折射实验，下面是具体的操作步骤．
【实验操作】
第一步：将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿 处射入到底部 处，入射光线与水槽 边的夹角为 ．
第二步：向水槽注水，水面上升到 的中点 处时，停止注水．（直线 为法线， 为入射光线， 为折射光线）
【测量数据】
如图，所有点都在同一平面内，测得 ．
【数据应用】
(1) 求折射角 的度数；
(2) 求 之间的距离．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
23.(本小题11分)
综合与实践
代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论．
【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较小数的平方+较小数的2倍．
【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据：
当时，；
当时，；
当时，；
……
【推理证明】小明做了如下证明：
设两个连续的正奇数分别为（，k为整数）和，则，两个连续的正奇数m和n的乘积较小数的平方+较小数的2倍．
(1) 【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较大数的平方较大数的2倍．请举例验证并推理证明．
(2) 【深入思考】若（m，n为连续的正奇数，q为它们的乘积），求证p能被4整除．
24.(本小题11分)
如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为．
(1) ；
(2) 求点C的坐标；
(3) 已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围．
25.(本小题12分)
如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，，，的延长线交于点．
(1) 求证：；
(2) 若，求证：；
(3) 如图2，若，，当的值最小时，求的长．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】a（a+2）
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】1
15.【答案】 /25度
16.【答案】①②④
17.【答案】．
18.【答案】【详解】
解：代入，得，
解得
代入，得
原方程的解是

19.【答案】【小题1】
【小题2】
解：记三个节目《武》、《智造未来》、《贺花神》分别为 A，B，C，
法一：列表如下：
A B C
A
B
C
由上表可知，共有6种等可能的结果，其中选择《智造未来》、《贺花神》的结果有2种，
小丽选择《智造未来》、《贺花神》的概率为．
法二：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中选择《智造未来》、《贺花神》的结果有2种，
小丽选择《智造未来》、《贺花神》的概率为．

20.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF．
21.【答案】【小题1】
解：如图，点即为所求；
；
【小题2】
解：，
，即，
解得：，
．

22.【答案】【小题1】
解：由题意得， ，
，
．
【小题2】
解： 是 的中点，
，
∵ ，
，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
，
在 中， ，
，
．
答： 之间的距离约为 ．

23.【答案】【小题1】
解：举例验证：当时，．（答案不唯一，合理即可）
推理证明：设两个连续的正奇数为（为整数）和，则，
，
两个连续的正奇数和的乘积较大数的平方较大数的2倍．
【小题2】
证明：，
．
又为整数，
能被4整除．

24.【答案】【小题1】
3
【小题2】
解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上，
∴点向下平移个单位，
∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，
∵点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为；
∵点在线段上，即点在直线上，
∴当时，，
∴；
【小题3】
解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．
∴，把代入，得：，
∴，
∴，
∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为，
∵对于满足的任意实数，总成立，
∴或，
∴或．

25.【答案】【小题1】
证明：，，
，
，
，
；
【小题2】
证明：如图，作于点，交于点,

，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
；
【小题3】
证明：由（1）得：，
，，
、B、C、D四点共圆，
，，
，
当最长时，最小，
此时为四边形外接圆的直径，
，
，
即，
，，
，
又，
设，，
则，
，
．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑