资源简介

山西阳泉市第一中学校2025-2026学年第二学期高一年级期中考试试题数学
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则与的方向相同或相反
B．若，，则
C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点
D．若 ，在方向上的投影向量为
3．已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ）
A．体积为 B．表面积为
C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2
4．如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）．
A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线
C．，，三线共点 D．
5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（ ）
A．0° B．45° C．60° D．90°
6．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形的面积为
D．四边形的周长为
7．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（ ）
A．点G为的重心，若，则
B．若满足，，的有两解，则t的取值范围为
C．若则是的外心
D．若点O为内一点，且，则
二、多选题
9．已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数z的虚部为-4
C．若对应的向量为，i对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
10．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，，且与夹角为锐角，则
B．若，，则外接圆半径
C．若，则是钝角三角形
D．中若，则
11．已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直三棱柱外接球的半径为2
B．三棱锥的体积与的位置无关
C．若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D．一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为
三、填空题
12．已知是虚数单位，则=___________.
13．已知向量，，若，则_________，若，则________
14．下面说法正确的是(填序号)______.
①三个平面最多可以把空间分成八部分；
②已知四个点不共面，则其中任意三点不共线；
③若直线直线，直线平面，直线平面，则；
④若复数满足，则的最大值为.
四、解答题
15．已知复数，．
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
16．设向量，，.
(1)求，与夹角的余弦值；
(2)若， ，求的值；
(3)若，，，求证：A，，三点共线.
17．已知中，角所对的边分别为，满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
18．如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由.
19．如图，在菱形中，若，，，.
(1)若，，求 的值；
(2)求以及的值；
(3)若与交于点，求的值.
参考答案
1．C
【详解】因为，所以，所以．
2．D
【详解】A选项，若，则与的模长相等，但未说明方向，故A错误；
B选项，若，则，成立，但不一定成立，故B错误；
C选项，若，则四点可能共线，故C错误；
D选项，在方向上的投影向量为，D正确.
3．D
【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误；
对于B，圆锥的母线长为，
故圆锥的表面积为，故B错误；
对于C，设圆锥轴截面顶角为，则，
而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误；
对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为
而，故当，，故D正确.
4．D
【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点，
连接，
由是的中位线，得，
由，且，得四边形是平行四边形，
则，，因此四点共面，A正确；
对于B，因为平面，平面，，
所以与是异面直线，正确；
对于C，延长，相交于点，
由，平面，得平面，
由，平面，得平面，
而平面平面，则，三线共点，C正确；
对于D，由，且可知，四边形是梯形，
若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出，
所以D不一定正确.
5．D
【详解】如图，还原正方体，如图，，直线与所成的角，即与所成的角，因为，所以直线与所成的角为.
故选；D
6．D
【详解】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，，
，故A、B错误；
对于C，四边形的面积为：，即C错误．
对于D，在原图形中，过作交于点，则，
由勾股定理得，
故四边形的周长为：，即D正确；
7．B
【详解】由题意，在中，，，所以.
在中，，，
所以，
由正弦定理，.
又为等腰直角三角形，所以.
故选项B正确.
8．C
【详解】选项A：点为的重心，设中点为，则=，
故，即，，
所以，A正确；
选项B：首先，且必有两种可能的取值，
由余弦定理，得，
故关于的方程必有两个不同的正数解，
所以，解得.
另一方面当时，，所以，所以，且，
所以可能是锐角，也可能是钝角，所以确有两解.
所以的取值范围是，B正确；
选项C：若，
则，
所以，所以点在边的高上，所以不一定是的外心，所以C错误；
选项D：若点为内一点，且，延长交于点，
故存在实数，使得，由于在直线上，故，从而，
即，所以，故，D正确.
9．ABD
【详解】A选项，，所以A正确；
B选项，复数（i为虚数单位）虚部为，所以B正确；
C选项，由题意，又，则向量，
故向量对应的复数为，所以C不正确；
D选项，若复数是关于的方程的一个根，
则，且也为方程的根，
故，所以，即，所以D正确.
10．BD
【详解】对于A选项：因为，，所以，
因为与夹角为锐角，则，解得，
且与不共线，所以，解得，
所以且，A错；
对于B选项，由及正弦定理得，
则，而，故，
所以，的外接圆半径为，B对；
对于C选项，因为，故，
因为，故为锐角，无法判断为钝角三角形，C错；
对于D选项，由及余弦定理得，
因为，所以，D对.
11．ABD
【详解】对于A，因为，三棱柱为直三棱柱，

如图，故该三棱柱为长方体的一半，如图：
所以直三棱柱外接球即为长方体外接球，
因为，
所以其外接球半径为，故A正确；
对于B，如图：
，
因为分别为的中点，所以，
又点在上，所以到的距离为定值，
故的面积为定值，故三棱锥的体积与的位置无关，故B正确；
对于C，如图，连接，

因为分别为的中点，
所以，且，
又因为，且，所以，且，
过三点的平面截三棱柱所得截面为梯形，
又，
所以，所以，
所以,所以，
所以四边形不是等腰梯形，故C错误；
对于D，若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图1，则爬过的最小距离：为；

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图2，则爬过的最小距离为：；

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图3，则爬过的最小距离为：，

若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图4，
过作，交于点，
因为为中点，所以 ，所以，
在中，则爬过的最小距离为：
，

故D正确.
故选：ABD
12．0
【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得：
，
，
所以.
13．
【详解】若，则即，
若，则即，
故答案为：，.
14．①②④
【详解】命题①，一个平面将空间分成两部分；再加一个平面，若第二个平面与第一个平面平行，则将空间分成三部分，若两个平面相交，则将空间分成四部分，所以两个平面最多将空间分成四部分；若想将空间分成尽量多的部分，前两个平面必相交，第三个平面与前两者也均相交，当三个平面交于同一条直线时空间被分成六部分，当三个平面两两相交，有三条交线时，若三条交线平行则空间被分成七部分，若三条交线均不互相平行则空间被分成八部分，所以三个平面最多可以将空间分成八部分，①正确；
命题②，四点不共面，则这四点一定不共线，由基本事实可知，直线和直线外一点有且只有一个平面，若有三点共线，则这三点与第四点必然共面，故这四点中必然任意三点都不共线，②正确.
对于③，如图，取平面为，平面为，为直线，为直线（分别为中点），显然不满足，③错误；
对于④，复数满足，即，则复数在复平面内的点的轨迹在以为圆心，为半径的圆上，所以的最大值为，故④正确.
15．(1)
(2)
【详解】（1）是纯虚数，
，
．
（2）在复平面内对应的点为,，在第四象限，
，
．
即的取值范围为．
16．(1) ，
(2)2
(3)证明见解析
【详解】（1）由，，得，
则，
而与夹角的余弦值为.
（2）由，，
得，
因为，，
所以，解得，则.
（3）证明：由，，，
则，所以，
而有公共点，则A，，三点共线.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以.
整理得，
即，，
因为，所以，故，
又因为，所以；
（2），，由余弦定理可得，
即，
又因为，当且仅当时，等号成立；
所以，
故，所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，周长的范围为.
18．(1)证明见解析
(2)存在，，证明见解析
【详解】（1）因为，所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）
存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面.
下面给出证明：
因为，所以，，
又因为点为上靠近点的三等分点，所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为在棱上且，即，
又因为，
所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面.
19．(1)，，，
(2)，
(3)
【详解】（1）由题意得，，
，
因为，
所以，，，.
（2）因为在菱形中，，,
所以,
由（1）得：
，
.
（3）设，则，
则，，
因为三点共线，所以，即，
所以，，解得，
所以.

展开更多......

收起↑