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特殊平行四边形专题复习练习题
考点1：利用菱形的性质求值
1.已知菱形的对角线，则该菱形的边长是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的度数为___________．
4．如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．已知点，，则点C的坐标为 　　．
5．如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，则四边形的面积为______．
考点2：菱形的判定
1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　）
A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD
2.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是菱形的是（　　）
A．AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC
B．AB＝DC，∠ABD＝∠BDC，AD＝CD
C．AB＝DC＝AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
3．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形
4.如图，在中，，将沿直线平移，得到，连接，，若添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）．
考点3：菱形的性质与判定综合
1．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为 ．
3．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　 　．
4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，求△BDE的面积．
考点4：利用矩形的性质求值
1.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．5
2.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边DC上，若AM平分∠DMB，则∠AMD的大小是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．30°
3.矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为　 　．
4.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1　 　S2；（填“＞”或“＜”或“＝”）
5.如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　．
考点5：矩形的判定
1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可）
2.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形．
3.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形．
4.如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
考点6：矩形的性质与判定综合
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C=90°，点E、F分别在AB、DC上，连接DE，BF，若AE=CF；求证：DE=BF．
2．如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为 ．
3.如图，在中，延长到点，使得，连接，，，交于点，已知．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
4.如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
考点7：利用正方形的性质求值
1.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ）

A． B． C． D．
2.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）
A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，）
3.如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为( )

A． B． C． D．
4.如图，在矩形中，的平分线交于点，，．若四边形是正方形，则与应满足的数量关系为 ．
5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
考点8：正方形的判定
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
2.如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3.如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形．
考点9：正方形的性质与判定综合
1.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（　　）
①AP＝EF
②∠PFE＝∠BAP
③△APD一定是等腰三角形
④PD＝EC
A．①②④ B．②④ C．①②③ D．①③④
2.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论：
①四边形一定是矩形；
②四边形可能是菱形；
③连接，四边形不可能是正方形；
④当G为中点时，是等腰三角形．
其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
4.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．
（1）求证：矩形DEFM是正方形；
（2）求CE+CM的值．
参考答案
考点1：利用菱形的性质求值
1.已知菱形的对角线，则该菱形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2.如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的度数为___________．
【答案】
4．如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．已知点，，则点C的坐标为 　　．
【答案】．
5．如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，则四边形的面积为______．
【答案】
考点2：菱形的判定
1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　）
A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD
【答案】D．
2.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是菱形的是（　　）
A．AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC
B．AB＝DC，∠ABD＝∠BDC，AD＝CD
C．AB＝DC＝AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
【答案】A．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形
【答案】D．
4.如图，在中，，将沿直线平移，得到，连接，，若添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
5.如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）．
【答案】①③或③①
考点3：菱形的性质与判定综合
1．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2.如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为 ．
【答案】
3．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　 　．
【答案】①②④．
4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，求△BDE的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵AD∥BC，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE＝AD＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BDE＝∠BFC＝90°，
∵AC＝6，CD＝3，
∴DE＝AC＝6，CD＝BC＝CEBE＝3，
∴BE＝2CD＝6，
∴BD12，
∴S△BDEBD DE12×6＝36，
∴△BDE的面积为36．
考点4：利用矩形的性质求值
1.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】B
2.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边DC上，若AM平分∠DMB，则∠AMD的大小是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．30°
【答案】C．
3.矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为　 　．
【答案】（﹣3，3）．
4.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1　 　S2；（填“＞”或“＜”或“＝”）
【答案】S1＝S2．
5.如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　．
【答案】12．
考点5：矩形的判定
1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可）
【答案】DE＝FG（答案不唯一）．
2.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．
∴∠GOK＝90°，
同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，
∴∠HGO＝90°，
∴四边形KHGO是矩形．
3.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形．
【答案】证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH是矩形．
4.如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，
∴MN＝2MO，
∵AC＝2MO，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
考点6：矩形的性质与判定综合
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C=90°，点E、F分别在AB、DC上，连接DE，BF，若AE=CF；求证：DE=BF．
【答案】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C=180°，
∵∠C=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=∠C=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF，
∵AB∥CD，
∴四边形EDFB为平行四边形，
∴DE=BF．
2．如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为 ．
【答案】（1）证明：∵在中，，是中线，
∴，，
∴．
∵是的外角的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，点F为对角线，的交点，
∴，．
∵是中线，
∴，
∴．
由（1）可知，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴．
3.如图，在中，延长到点，使得，连接，，，交于点，已知．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
又∵，，
∴，点为线段的中点，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴，即，
∴平行四边形为矩形．
（2）解：∵，，
∴为等边三角形．
∴，
由（）得，
∴．
在中，，
∴．
4.如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，点在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
的长是．
考点7：利用正方形的性质求值
1.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
2.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）
A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，）
【答案】A
3.如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为( )

A． B． C． D．
【答案】C
4.如图，在矩形中，的平分线交于点，，．若四边形是正方形，则与应满足的数量关系为 ．
【答案】
5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
【答案】
考点8：正方形的判定
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
2.如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
3.如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形．
【答案】证明：∵，．
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形．
∴，
∵平分，
∴，
∴四边形为正方形．
考点9：正方形的性质与判定综合
1.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（　　）
①AP＝EF
②∠PFE＝∠BAP
③△APD一定是等腰三角形
④PD＝EC
A．①②④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
2.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
3．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论：
①四边形一定是矩形；
②四边形可能是菱形；
③连接，四边形不可能是正方形；
④当G为中点时，是等腰三角形．
其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
4.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．
（1）求证：矩形DEFM是正方形；
（2）求CE+CM的值．
【答案】（1） 略（2）6
【解答】解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD．
∵EG⊥CD，EH⊥BC，
∴EG＝EH，
∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，
∴四边形EGCH是矩形，
∴∠GEH＝90°．
∵四边形DEFM是矩形，
∴∠DEF＝90°．
∴∠DEG＝∠FEH．
∵∠EGD＝∠EHF＝90°，
∴△EGD≌△EHF（ASA），
∴ED＝EF．
∴矩形DEFM是正方形；
（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．
∴∠ADE＝∠CDM．
∴△ADE≌△CDM（SAS），
∴AE＝CM．
∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．

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