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云南德宏州2026年高一年级下学期期中教学质量统一监测
数学试卷
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．12 B．24 C． D．
5．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为直角三角形
C．为钝角三角形 D．的形状无法确定
6．平行四边形ABCD中，点E满足，则（ ）
A． B．-1 C．1 D．
7．记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量坐标是
10．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若是关于的方程的根，则
11．已知正四棱台的体积为，，，则下列正确的有（ ）
A．此四棱台的侧面积为
B．若M是的中点，则平面BDM截此四棱台所得截面的面积为
C．若点P为平面截此四棱台所得截面上的动点，且，则P的轨迹长度为
D．若点E为棱上的动点，则的最小值为
三、填空题
12．已知为虚数单位，，若，则__________.
13．已知向量，，，的夹角为，则______.
14．如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米
四、解答题
15．已知平面向量，，．
(1)若，求；
(2)若，求向量与的夹角．
16．如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求线段的长度；
(2)求的值．
17．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求的值．
18．如图，在梯形中，，，且，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．
(1)求旋转体的体积与表面积；
(2)求图中所示圆锥的内切球体积．
19．已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若锐角的内角的对边分别为，且，，
（ⅰ）求的值．
（ⅱ）求面积的取值范围．
参考答案及解析
1．C
解析：由题意，，
所以，复数对应的点为，即为第三象限的点.
故选：C.
2．C
解析：因为，，且，所以，即.
3．B
解析：由，和正弦定理可得，
故，
故选：B
4．A
解析：根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形，
且，，，
所以的面积为．
5．C
解析：由于,
故为钝角，进而三角形为钝角三角形
故选：C
6．D
解析：由题意可得：，
即，则.
故选：D.
7．D
解析：依题意，，设该圆锥的高为，则，.
由可得，化简得，
故.
8．A
解析：设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接.
若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点.
设，的中点分别为D，E，连接，，，，
则.
因为，所以，
所以正三棱柱外接球的半径为，
故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为.
9．BD
解析：A选项：根据向量坐标的数乘和加法运算，，
则，故A选项错误；
B选项：根据模长公式，故B正确；
C选项：利用夹角公式：
故C错误；
D选项：在方向上的投影向量利用计算，代入坐标可得：
；故D正确．
10．CD
解析：A选项：因为，4次为一个周期，且，故，故A错误；
B选项：因为虚数不能比较大小，故B错误；
C选项：设；；根据复数的模长计算公式：；故，故C正确；
D选项：若是关于的方程的根，则也是方程的根，则，故；故D正确．
11．ACD
解析：A，如图，记上、下底面的中心分别为，，取的中点为，取的中点为，
连接，，，，
则为梯形的高，因为该正四棱台的体积，得，
而，则，
所以梯形的面积为，此四棱台的侧面积为，故A正确；
B，取的中点，连接，的中点设为，连接，，，
则，，所以，
所以平面截此四棱台所得的截面为，
因为，，，
所以梯形的面积为，故B错误；
C，因为，，，
所以平面，且，
因为，，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，弧长，故C正确；
D，由A知，则侧棱，所以，
如图，将侧面和沿棱展开，连接交于点，，
此时的长度即为的最小值，因为，故D正确.
12．
解析：由题设，则，可得.
故答案为：
13．
解析：，
故答案为：.
14．
解析：设塔的高，
在中，，同理可得，，
在中，，则，
，
即，解得.
所以塔的高度为米.
故答案为：.
15．(1)
(2)
解析：（1）因为，所以，即，
又因为，，所以，解得，
所以，所以；
（2）由题意可得，
又因为，且，所以，
解得，所以，所以，
又因为，所以.
16．(1)
(2)
解析：（1）由，得，在中，已知，，
由三角形面积公式 可得 解得：；
（2）由余弦定理即 ，
解得
设，在由正弦定理，得，
在中，由正弦定理 ，得.
17．(1)
(2)
解析：（1）由和正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以，又因为，所以；
（2）由正弦定理，且，，，
得，且，则B为锐角，故，
故，且；
故．
18．(1)旋转体的体积为，旋转体的表面积为
(2)
解析：（1）由图可知，该旋转体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，
在直角梯形中，，过点作于点，
则四边形和四边形为矩形，，如图所示，
在中，由得：，
，所以，
因为旋转体的体积，
所以旋转体的体积，
因为旋转体的表面积，
所以.
（2）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上，
设球切于点，连接，如图所示：
则，，
因为，所以，
在中，，解得，
所以圆锥的内切球的体积为：.
19．(1)．
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
解析：（1），
由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得，
所以．
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）（ⅰ）已知，由，得，
由正弦定理，得，，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，，
，
由△ABC是锐角三角形，有，得，，
则，所以，
即面积的取值范围是．

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