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宁夏吴忠市滨河中学2025-2026学年第二学期高二期中考试
数学试卷
一、单选题
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中含的项的系数是60
C．展开式的各二项式系数和为128
D．展开式的各项系数和为729
4．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）种.
A．1440 B．120 C．720 D．1560
6．已知函数的导函数为，且满足（其中为自然对数的底数），则（ ）
A． B． C．2 D．
7．随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间和上，函数均是减函数
B．为函数的零点
C．为函数的极小值点
D．为函数的最大值
10．若，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
三、填空题
12．若，则__________.
13．的展开式中，的系数为__________.
14．若函数的图象与函数的图象有公切线l，且直线l与直线互相垂直，则实数______.
四、解答题
15．已知在的展开式中，第9项为常数项.求：
(1)的值；
(2)展开式中二项式系数最大项；
(3)展开式中的有理项并写出个数.
16．已知函数.
(1)求函数的单区间并求出函数的极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值；
(3)画出函数的大致图像并讨论方程的解的个数.
17．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
18．为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者．赛后，7名同学站成一排，照相留念．
(1)女生必须站在一起的站队方式有多少种？
(2)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？
(3)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？
19．设函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)当时，，求的取值范围.
参考答案及解析
1．C
解析：．
故选：C．
2．D
解析：A. ，故A错误；
B.，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确.
3．B
解析：对于A：根据二项式系数的性质：展开式中只有一项二项式系数最大，说明为偶数，且最大二项式系数对应中间项，
已知只有第四项的二项式系数最大，因此中间项为第项，即，得，A错误。
对于B:由选项A的判断可知二项式为，其展开式通项为
令，得，所以展开式中含项的系数是，B正确；
对于C：二项式系数和为，C错误；
对于D：令代入原式得：，D错误.
4．D
解析：依题意知， 有两个不相等的零点，
故， 解得且 .
故选：D.
5．D
解析：如图所示：
当选择5种颜色时，从6种颜色中选5种共有种方法,
将选出的5种颜色分配给5个区域有种方法,总方法数为种，
当选择4种颜色时，从6种颜色中选4种共有种方法,
从（A,D）或（B,C）中选择一组涂同一颜色，有2种选择，
比如选择（A,D）组，将选出的4种颜色分配有种方法,
总方法数为种，
当选择3种颜色时，从6种颜色中选3种共有种方法,
则（A,D），（B,C）各涂同一颜色，有1种选择，
将选出的3种颜色分配有种方法,
总方法数为种，
则所有的方法数为种.
6．B
解析：解：，
，
，
，．
故选：B．
7．B
解析：设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”，
由题意可知：，，，，
则，，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是．
故选：B
8．C
解析：令，
对任意的、，当时，都有，
即，即，
所以，函数在上为减函数，且，
参变分离可得，令，其中，则，
由可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，，故，因此，实数的取值范围是.
故选：C.
9．AC
解析：对于A，当时，，又，；
当时，，又，；
在和上均为减函数，A正确；
对于B，根据图象可知是的零点，但无法确定，B错误；
对于C，由A知：在上为减函数；
当时，，又，；
在上单调递增，又，，
是的极小值点，C正确；
对于D，当时，，又，；
在上单调递减，又在上单调递增，
是的极大值，无法确定是最大值，D错误.
故选：AC.
10．AC
解析：令，则，故A正确，
令可得，故，故B错误，
令可得，故，故C正确，
令可得，，故D错误，
故选：AC
11．CD
解析：由函数，可得，
因为函数在区间上存在单调递减区间，
即在有解，即在有解，
设，可得，
所以函数单调递增，所以，即，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
12．3
解析：因为，
则，且，
整理得：，解得或（舍去）.
故答案为：3.
13．35
解析：因为，
则中的系数为，中的系数为，
所以的展开式中，的系数为，
故答案为：35
14．
解析：因为直线l与直线互相垂直，所以，
令，又，解得，因为，所以切线的方程为，
，设函数与直线切于点，
所以，故，
即，化简得，解得或，因为，所以，
所以.
15．(1)10
(2)
(3)展开式中的有理项共有6个，详见解析.
解析：（1）的展开式的通项公式为：
，
因为第9项为常数项，所以，且，
解得，；
（2）由（1）知：二项式的展开式共有项，
由二项式系数的性质得：中间一项即第6项的二项式系数最大，；
（3）由（1）知通项公式为，
若展开式中的项为有理项，则为整数，为偶数，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，.
展开式中的有理项共有6个，分别是，，，，，.
16．(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)详见解析.
解析：（1），令，得，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减；
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
在处取得极大值，无极小值.
（2）由（1）知：在区间上单调递增，
所以的最大值是，的最小值是.
（3）由（1）知：函数在上递增，在上递减，
在处取得极大值，又，，
则的图象过点，
当时，，，由洛必达法则得，
又时，，则函数的图象在第一象限从上方逐渐趋近于x轴，
当时，，，则，
所以函数的大致图像从第三象限的负无穷处上升，
经过点继续上升至极大值点，
然后下降，并在第一象限逐渐趋近于x轴，
如图所示：
由图知：当时，方程无解；
当或时，方程有一个解；
当时，方程有两个解；
17．(1)
(2)0.25
解析：（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．
．
（2）
．
18．(1)
(2)
(3)
解析：（1）女生必须站在一起，利用捆绑法，
先将四个女生看成一个整体，再与其他三个男生排列，
则有种站队方式；
（2）若甲站在两端，则甲有种站法，
再选一名女生与甲相邻，有种选法，
再将把其他人排列，有排法，
则甲站在两端有种，
若甲不站两端，则可先在甲两边分别安排一名女生，有种选法，
再将这三个人看成一个整体与其他人排列，有种排法，
则甲不站两端有种，
所以男生甲不与其他男生相邻的站队方式有种；
（3）先选名女生分到三个年级，有种，
再将个男生分到三个年级，有种，
所以共有种.
19．(1)
(2)
(3)
解析：（1）当时，， ，即切点为；
， ； 由点斜式得切线方程，
整理得.
（2）在 单调递增，等价于 对所有恒成立，
即 恒成立.
令 ，求导得 ，令得极值点 ，
时，，递减；
，，递增；
因此的最小值为 ，故 .
（3）因为，故当时，即 对恒成立，
，令，则，
令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，取得最小值，又，
①若，则，因为在单调递减，
所以对任意，，单调递减，
所以对任意，，不合题意；
②若，则，即对，，单调递增，
所以，符合题意；
③若，则，且，又时，，
所以有两个零点，，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
则若恒成立，只需，
由得，
所以
设，则恒成立，所以在单调递减，
所以恒成立，
要，只需，又在单调递增，
所以，即.
综上，的取值范围是.

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