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平陆中学 2025—2026 春学段期中教学质量评价
高二年级 数学试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10 种 B．20 种 C．25 种 D．32 种
2．已知随机变量 X 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A．0.24 B．0.38 C．0.12 D．0.44
3. 的展开式中 的系数为（ ）
A. 40 B. 80 C. D.
4．随机变量的分布列如下表所示，其中 a，b 为函数 的两个不同的极值点，则 （ ）
ξ 0 1 2
P a b c
A． B． C． D．
5．已知变量 x 和 y 的统计数据如下表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
若 x 和 y 线性相关，则 y 关于 x 的线性回归方程为（ ）
（附：线性回归方程 ,中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
A． B．
C． D．
6．一只蚂蚁从平面直角坐标系的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动一个单
位长度，其中在点 的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动 6 次后能移动到点
的不同走法有（ ）
A．8 种 B．10 种 C．12 种 D．16 种
7．已知 能被 11 整除，则整数 a 的值可以是（ ）
A．1 B．9 C．10 D．0
8．已知随机变量 的分布列如下，则 的最大值为（ ）
X 1 2 3
P a b 2b—a
A． B．3
C．6 D．5
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．观察下列散点图，则（ ）
A． B． C． D．
10．若随机变量 服从两点分布，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．某兴趣小组调查了某校 100 名学生 100 米短跑成绩的情况，其中有 60 名学生的短跑成绩合格．这 100 名
学生中有 45 名学生每周的锻炼时间超过 5 小时，60 名短跑成绩合格的学生中有 35 名学生每周的锻炼时间超
过 5 小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过 5 小时的学生参加跑步技
巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 ，每周的锻炼时间不超过 5 小时的学生参加跑步技巧培训后，学
生的短跑成绩合格的概率为 ．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取 1 名学生（记为甲）
进行跑步技巧培训，依据小概率 的 独立性检验，零假设为 ：学生短跑成绩合格与每周锻炼
时间相互独立，则下列结论正确的是
参考公式与数据： ，其中： ．
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
A．可以推断 成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过 5 小时无关
B．可以推断 不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过 5 小时有关
C．学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为
D．在学生甲参加培训后短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过 5 小时的概率为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．现有 6 位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为 .
13．设随机变量 ，且 ，则 ；若随机变量 满足 ，则
的方差为________．
14．某学校组织学生进行答题比赛，已知共有 4 道 类试题，8 道 类试题，12 道 类试题，学生从
中任选 1 道试题作答，学生甲答对 这 3 类试题的概率分别为 ， ， .若学生甲答对了所选试
题，则这道试题是 类试题的概率为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13 分）（1）把 本不同的书分给 位学生，每人至少一本，有多少种方法？
（2）由 这 个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？
（3）某旅行社有导游 人，其中 人只会英语， 人只会日语，其余 人既会英语，也会日语，现从中选 人，
其中 人进行英语导游，另外 人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？
16．（15 分）已知在 的展开式中，前 3 项的系数分别为 ，且满足 .求：
(1)展开式中二项式系数最大项的项；
(2)展开式中系数最大的项；
(3)展开式中所有有理项.
17.（15 分） 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的
两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得 5 分、
良好可得 3 分、合格可得 1 分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为 ，良好的概率为
；在续航测试中测试结果为优秀的概率为 ，良好的概率为 ，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能
源汽车两项测试得分之和记为 .
（1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格 概率；
（2）求离散型随机变量 的分布列与期望.
18. （17 分）2024 年 2 月 27 日，电动垂直起降航空器 eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞
行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、
高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为 0.24（优
秀：竞赛成绩 ，单位：分），现从高二年级随机抽取 100 名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率
分布直方图.
（1）从高二年级竞赛分数在 中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 6 人，现从这 6 人中随机抽取
3 人，记成绩优秀的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望 ；
（2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取 1 人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
19．（17 分）正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象．已知某店内
共有 20 个正比例手办，其中有 8 个正比例手办采用树脂材质制成，有 12 个正比例手办采用 PVC 材质制成，
树脂材质的正比例手办中有 2 个是 比例手办，6 个是 比例手办，PVC 材质的正比例手办中有 4 个是 比例
手办，8 个是 比例手办．该店举行了一个抽奖活动，将这 20 个正比例手办编号为 1，2，3，……，20，盒子
内有编号分别为 1，2，3，……，20 的 20 张小纸条，消费者抽到编号为 的纸条即视为抽到
编号为 i 的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取 2 张纸条，每位消费者只有一次机会．
（1）记事件 A 为“消费者小曲抽到的 2 个正比例手办的材质与比例均相同”，求 ．
（2）若消费者抽到的 2 个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励 100
元；若材质与比例均相同，则奖励 200 元．记消费者小曲获得的奖金金额为 元，请写出 的分布列及期望．
数学参考答案
1．D 每个同学有 2 种选择，故不同报名方式为 .
2．B 根据题意可得 ．
3．A ，
所以展开式中 的系数为 .
4．D 由 ，得 ，则 ，解得 ．当 时，
，故 ．
5．D 由题意得 .
， ，
所以 ，
故线性回归方程为 .
6．A 蚂蚁移动 6 次到点 ，有 种走法，其中会经过点 的走法有 种，所以蚂蚁移
动 6 次能移动到点 的不同走法有 种．
7． C 易 得 ， 因 为
能被 11 整除，所以 能被 11 整除，由选项
知当 时，符合题意．
8. C 因为分布列中概率和为 ，故可得 ，解得 ，
又 ，
则 ，
又 ，故可得 ，
则当 时， 的最大值为 ，
又 ，故 的最大值为 .
9．BD 散点图①，②中 y 与 x 呈负相关， 散点图②中 y 与 x 的线性相关性更强，所以
，所以 ；散点图③，④中 y 与 x 呈正相关， ，散点图④中 y 与 x 的线性相关性更强，
所以 ，所以 ．故 ．
10．ACD 由题意可得 ，则 ，
故 ，
， ．
11．BCD 由题可得如下表格：
单位：人
每周锻炼时间 短跑成绩 合计
合格 不合格
每周的锻炼时间超过 5 小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过 5 小时 25 30 55
合计 60 40 100
根据表中的数据，可得 ，
根据小概率值 的独立性检验，可推断 不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过
5 小时有关．
设事件 “学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件 “学生甲每周的锻炼时间超过 5 小时，短跑
成 绩 不 合 格 ”， “学 生 甲 每 周 的 锻 炼 时 间 不 超 过 5 小 时 ， 短 跑 成 绩 不 合 格 ”， 则
，
所以 ，
所以从短跑成绩不合格的学生中随机抽取 1 名学生（记为甲）进行跑步技巧培训后，学生甲短跑成绩合格的概
率为 ．
易 得 在 学 生 甲 短 跑 成 绩 合 格 的 情 况 下 ， 学 生 甲 每 周 的 锻 炼 时 间 不 超 过 5 小 时 的 概 率 为
．
12．将甲、乙两位同学捆绑，再和另外 4 位同学全排列，即 .
13． ； 易得 ，解得 ，则 ．
因为 ，所以 ，则 ．
14．
设学生选 道 类试题为事件 ，学生选 道 类试题为事件 ，学生选 道 类试题为事件 ，
设学生答对试题为事件 ，则 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
所以 .
15（1）把 本不同的书分给 位学生，每人至少一本，有 和 两类
分配方式为 时，共有： 种分法
分配方式为 时，共有： 种分法
由分类加法计数原理可得，共有： 种分法
（2）若个位是 ，共有： 个
若个位不 ，共有： 个
由分类加法计数原理可得，共有： 个
（3）若只会英语的人中选了 人作英语导游，共有： 种选法
若只会英语的人中选了 人作英语导游，共有： 种选法
若只会英语的人中选了 人作英语导游，共有： 种选法
由分类加法计数原理可得，共有： 种选法
【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，
关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.
16.（1）因为 展开式的通项公式为 ， ，
所以
依题意得 ，即 ，由已知 ,
所以 ，
所以 的展开式有 9 项，二项式系数最大的项为第 5 项，
所以 .
（2）由（1）知， ，
设展开式中系数最大的项为第 项，则 ，
即 ，即 ，
解得 ，所以 或 ，
所以展开式中系数最大的项为 和 .
（3）由 为有理项知， 为整数，得 ， ，
所以展开式中所有有理项为 和 .
17（1）设出事件，结合独立事件概率公式和对立事件及互斥事件概率公式求出概率值；
（2）根据互斥和独立事件概率求出分布列，进一步求出期望值.
【小问 1 详解】
记事件 为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为 分 ，3， ”，
则 ， ， ；
记事件 为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为 分 ，3， ”，
则 ， ， ；
事件 为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则 （C） ，
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为 ．
【小问 2 详解】
由 题 知 离 散 型 随 机 变 量 的 所 有 可 能 取 值 分 别 为 2， 4， 6， 8， 10， ，
， ， ，
，
则离散型随机变量 的分布列为
2 4 6 8 10
所以数学期望 ．
18【小问 1 详解】
由直方图可知，分数在 中的学生有 32 人，分数在 中的学生有 16 人，
所以根据分层抽样，在 中抽 4 人，在 中抽 2 人，
则成绩优秀的学生人数 可取 ，所以
； ； .
所以分布列为
0 1 2
则期望 .
【小问 2 详解】
记事件 ：成绩优秀的学生，事件 ：高一年级的学生，
由已知条件可知， ，
所以 .
19．解：（1）由题意可知 ．
（2）记事件 B 为“消费者小曲抽到的 2 个正比例手办仅材质或仅比例相同”，记事件 C 为“消费者小曲抽到的 2
个正比例手办的材质与比例均不相同”，
则由（1）得 ，
，
则 的分布列为
0 100 200
P
则 ．

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