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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
（第1课时）
第二十章 勾股定理
2026年新人教版八年级数学下册★★
复习引入
直角
三角形
定义
性质
判定
应用
有一个内角等于90°的三角形叫作直角三角形.
直角三角形的两个锐角互余.
勾
股
弦
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
利用勾股定理解决实际问题
利用勾股定理解决数学问题
有两个角互余的三角形是直角三角形.
边？
逆命题
合作探究
思考 如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢
右图给出了确定直角的一种方法：
把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
合作探究
思考 如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢
三角形的三边长分别为3，4，5.
满足关系“32+42=52”.
三角形是直角三角形.
合作探究
观察 如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
合作探究
信息技术验证：
合作探究
猜想 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
A
B
C
a
b
c
合作探究
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
作Rt△A'B'C'，直角边长分别为a，b.
证明△ABC≌△A'B'C'.
△ABC是直角三角形.
合作探究
证明：如图，作一个Rt△A'B'C'，使B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°.
根据勾股定理，A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2.
因为a2+b2=c2，所以A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C'中，
BC=a=B'C'，AC=b=A'C'，AB=c=A'B'，
所以△ABC≌△A'B'C'（SSS）.
因此∠C=∠C'=90°，
即△ABC是直角三角形.
合作探究
勾 股 定 理 的 逆 定 理
它是判定直角三角形的一个依据
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
解：(1)因为82+152=64+225=289，172=289，
所以82+152=172.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，
c组成的三角形是直角三角形.
典例分析
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=8，b=15，c=17； (2)a=14，b=13，c=15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
解：(2)因为142+132=196+169=365，152=225，
所以142+132≠152.
根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角
三角形.
典例分析
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=8，b=15，c=17； (2)a=14，b=13，c=15.
如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有a2+b2=c2.事实上，上式不成立.因此，这个三角形不是直角三角形.
1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=4，b=5，c=6； (2)a=2.5，b=0.7，c=2.4；
(3)a=，b=，c=； (4)a=1，b=，c=.
巩固练习
解：(1)因为42+52=16+25=41，62=36，
所以42+52≠62.
根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角
三角形.
1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=4，b=5，c=6； (2)a=2.5，b=0.7，c=2.4；
(3)a=，b=，c=； (4)a=1，b=，c=.
巩固练习
解：(2)因为0.72+2.42=0.49+5.76=6.25，2.52=6.25，
所以0.72+2.42=2.52.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形
是直角三角形.
1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=4，b=5，c=6； (2)a=2.5，b=0.7，c=2.4；
(3)a=，b=，c=； (4)a=1，b=，c=.
巩固练习
解：(3)因为()2+()2=+ = ，()2= ，
所以()2+()2≠()2.
根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角
三角形.
1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=4，b=5，c=6； (2)a=2.5，b=0.7，c=2.4；
(3)a=，b=，c=； (4)a=1，b=，c=.
巩固练习
解：(4)因为12+()2=1+2=3，()2=3，
所以12+()2=()2.
根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形
是直角三角形.
2. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．AC2+BC2=AB2 B．AC:BC:AB=3:4:5
C．∠C=∠A+∠B D．∠A:∠B:∠C=9:12:15
巩固练习
D
3. 勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，我们称之为勾股数．下列各组数据为勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．9，16，20
C．1，2， D．，，
巩固练习
A
4. 若一个三角形的三条边长之比为5:12:13，周长为60 cm，则它的面积为（ ）
A．60 cm2 B．80 cm2
C．100 cm2 D．120 cm2
巩固练习
D
5. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a 15)2+|b 17|
+(c 8)2=0，则△ABC是（ 　）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．非直角三角形
巩固练习
B
6. 如图，以△ABC的三边为直径，分别作三个半圆，三个半圆的面积分别为S1，S2，S3.若S1+S2=S3，判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
巩固练习
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵S1=π()2，S2=π()2，S3=π()2，
∴π()2+π()2=π()2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形.
S1
S2
S3
归纳总结
勾股定理及其逆定理 勾股定理
勾股定理的逆定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
形
数
数
形
感受中考
1.（江苏南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
（ ）
A．3， 4，5 B．2，3，4
C．4，6，7 D．5，11，12
A
感受中考
2.（2023年山东菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足(a b)2+
+|c 3|=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
D
感受中考
3.（2025年江苏扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
11，60，61
感受中考
4.（2021年浙江杭州）如图，在直角坐标系中，以点A(3，1)为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B(1，1)，点C(1，3)，点D(4，4)，点E(5，2)，
则∠BAC ∠DAE．
（填“>”“=”“<”中的一个）
=
小结梳理
直角
三角形
定义
性质
判定
应用
有一个内角等于90°的三角形叫作直角三角形.
直角三角形的两个锐角互余.
勾
股
弦
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
利用勾股定理解决实际问题
利用勾股定理解决数学问题
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

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