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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
（第2课时）
第二十章 勾股定理
2026年新人教版八年级数学下册★★
复习引入
直角
三角形
定义
性质
判定
应用
有一个内角等于90°的三角形叫作直角三角形.
直角三角形的两个锐角互余.
勾
股
弦
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
利用勾股定理解决实际问题
利用勾股定理解决数学问题
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
利用勾股定理及其逆定理解决实际问题
利用勾股定理及其逆定理解决数学问题
合作探究
例2 如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30.
因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
所以∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，
∠1=45°.因此∠2=45°,即“海天”
号沿西北方向航行.
合作探究
合作探究
例3 如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=3，AD= ，DC= .
如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由.
分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD是不是直角三角形，从而判断AC是否垂直于AD.
解：因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC =AB BC =5 3 =16.
所以AC=4.
在△ACD中，
AC +AD =4 +() =，
CD =() =，
所以AC +AD =CD .
因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD.
合作探究
解：根据题意，
AB=12，BC=5，AC=13.
因为AB2+BC2=AC2，
即122+52=132，
所以∠B=90°.
∴C地在B地的正北方向.
典例分析
1. A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向
解：根据勾股定理得，AC2=AB2+BC2=32+42=25，∴AC=5，
∴AC2+CD2=25+122=169，∵AD2=132=169，
∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=+
= + =36.
典例分析
2. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
∠B=90°.求四边形ABCD的面积.
1. 如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形ABCD四个角都应是直角，他在挖完后测量发现AB=CD=6 m，AD=BC=8 m，AC=BD=10 m，则他挖的地基 ．
（填“合格”或“不合格”）
巩固练习
合格
巩固练习
2. 如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长30 m,40 m和50 m，已知40 m长的边线为南北向，则30 m长的边线方向为（ ）
A．东西向 B．东北向
C．东南向 D．西北向
A
巩固练习
3. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是400 m/min，甲客轮用30 min到达A处，乙客轮用40 min到达B处．若A，B两处的直线距离为20000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西30° B．南偏西30°
C．南偏东60° D．南偏西60°
C
巩固练习
4. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（ ）
A．30平方里 B．32.5平方里
C．60平方里 D．65平方里
A
5. 高师傅有5根长度(单位：dm)分别为a=6，b=8，c=10，d=24，e=26的钢条，准备选3根焊接一个直角三角形钢架.请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.
巩固练习
答：组合1：a，b，c. 组合2：c，d，e.
解：（1）如图：连接AC，
在Rt△ABC中，AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴AC====25，
∵CD2=72=49，AD2=242=576，AC2=252=625，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ACD为直角三角形，∠ADC=90°.
6. 如图，在四边形ABCD中，已知AB=20 m，BC=15 m，CD=
7 m，AD=24 m，∠B=90°．
(1)求证：∠ADC=90°；(2)求四边形ABCD的面积．
巩固练习
解：（2）∵在Rt△ABC中，AB=20，BC=15，
在Rt△ADC中，CD=7，AD=24，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=×20×15 + ×7×24=234，
∴四边形ABCD的面积为234m2．
6. 如图，在四边形ABCD中，已知AB=20 m，BC=15 m，CD=
7 m，AD=24 m，∠B=90°．
(1)求证：∠ADC=90°；(2)求四边形ABCD的面积．
巩固练习
归纳总结
勾股定理及其逆定理 勾股定理 （性质）
勾股定理的逆定理 （判定） 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
形
数
数
形
实际问题
抽象
数学问题
几何模型
解决
建立
解决
感受中考
1.（湖南长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ 　）
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
A
感受中考
2.（2021广西玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道
甲船沿北偏西40°方向航行，则乙
船沿 方向航行．
北偏东50°
感受中考
3.（2020年山西）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
填空；“办法一”依据的一个数学定理是____________________.
勾股定理的逆定理
小结梳理
直角
三角形
定义
性质
判定
应用
有一个内角等于90°的三角形叫作直角三角形.
直角三角形的两个锐角互余.
勾
股
弦
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
利用勾股定理解决实际问题
利用勾股定理解决数学问题
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
利用勾股定理及其逆定理解决实际问题
利用勾股定理及其逆定理解决数学问题

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