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21.1.1四边形及其内角和
第二十一章 四边形
2026年新人教版八年级数学下册★★2
复习引入
三角形
定义
组成元素
边
相关元素
角
角平分线
中线
高线
内角
外角
四边形
定义
组成元素
相关元素
类比
？
？
合作探究
四边形的定义
在平面内，由 的四条线段 组成的图形叫作四边形.
不在同一直线上
首尾顺次相接
如图：线段 ， ， ， .
是四边形的边；点 ， ， ，
是四边形的顶点.
合作探究
四边形的组成元素
组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.
AB
BC
CD
A
B
C
DA
D
记作“四边形ABCD”
如图： ， ， ， .
是四边形ABCD的内角.
合作探究
四边形的组成元素
四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；
四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
∠A
∠B
∠C
∠D
请在右图中分别画出四边形ABCD
顶点A，C处的外角.
如图：线段 ， 是四边形ABCD的两条对角线.
合作探究
四边形的相关元素
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.
AC
BD
合作探究
四边形的分类
画出四边形ABCD的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.
合作探究
四边形的分类
画出四边形ABCD的某一条边所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凹四边形.
今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
合作探究
思考 我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
四边形
三角形
对角线
转化
合作探究
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
在△ABC中，由三角形内角和定理，得
∠1+∠B+∠3=180°.
同理 ∠2+∠4+∠D=180°.
由此可得
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)
=180°+180°=360°.
即四边形的内角和等于360°.
典例分析
例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°.根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
典例分析
解：∵∠DAB与∠1是邻补角，∴∠DAB+∠1=180°.
同理∠ABC+∠2=180°，∠BCD+∠3=180°，∠CDA+∠4=180°，
∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+
∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°，
而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°,
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
这样，我们就证明了：
四边形的外角和等于360°.
合作探究
探究 在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？
合作探究
探究 如左图，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如右图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
形状会改变
形状不会改变
四边形具有不稳定性.
合作探究
应用 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等.
克服四边形的不稳定性
你还能举出其他例子吗？
利用四边形的不稳定性
巩固练习
1.求出下列图形中x的值：
解：（1）∵四边形的内角和是360°，
∴x+x+140+90=360，
解得：x=65.
巩固练习
1.求出下列图形中x的值：
解：（2）∵四边形的内角和是360°，
∴3x+3x+4x+2x=360，
解得：x=30.
巩固练习
1.求出下列图形中x的值：
解：（3）∵四边形的内角和是360°，
∴180 x+75+120+80=360，
解得：x=95.
巩固练习
2.一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系
解：它的另一组对角也互补.理由如下：
已知：∠A，∠B，∠C，∠D是四边形ABCD的四个内角，
∠A+∠C=180°.
求证：∠B+∠D=180°.
证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∠A+∠C=180°，
∴∠B+∠D=360° (∠A+∠C)
=360° 180°=180°.
巩固练习
3.下列图形中哪些具有稳定性
具有
稳定性
不具有
稳定性
具有
稳定性
不具有
稳定性
不具有
稳定性
归纳总结
四边形及其内角和 四边形 在平面内，由 的四条线段 组成的图形叫作四边形.
相关概念 组成四边形的 叫作四边形的边.
的公共端点叫作四边形的顶点.
四边形 组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角.
四边形的角的一边与 组成的角叫作四边形的外角.
连接四边形 的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.
不在同一直线上
首尾顺次相接
各条线段
每相邻两条线段
相邻两边
另一边的延长线
不相邻
归纳总结
四边形及其内角和 分类
内角和
外角和
凹四边形
凸四边形
四边形的内角和等于360°.
四边形的外角和等于360°.
感受中考
1.（2022年河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）
A．α β=0
B．α β<0
C．α β>0
D．无法比较α与β的大小
A
感受中考
2.（2021年江苏扬州）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E=（ ）
A．220° B．240°
C．260° D．280°
D
感受中考
3.（2023年辽宁盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF、EF分别交CD于点H、K，若∠BEF=64°，则∠GHC等于（ ）
A．44° B．34°
C．24° D．14°
B
感受中考
4.（2020年山东泰安）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2等于（ ）
A．80°
B．100°
C．110°
D．120°
C
小结梳理
三角形
定义
组成元素
边
相关元素
角
角平分线
中线
高线
内角
外角
四边形
定义
组成元素
相关元素
类比
边
角
内角
外角
对角线

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