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沈 阳 二中 2 8 届 2 0 2 5 - 2 0 2 6 学年 度下 学期 阶段 能 力 测 试
数 学 试题
命题 人： 张睿 升 审题 人： 于潇 晗
说明 ：1 . 测试 时间 ：1 2 0 分钟 总分 ： 1 5 0 分
2 . 客观 题涂 在答 题纸 上， 主观 题答 在答 题纸 的相 应位 置上
第 Ⅰ卷 （ 58 分）
一、 选 择 题： 本 题 共 8 小题 ，每 小 题 5 分 ，共 4 0 分． 在 每 小题 给出 的四 个选 项中 ，只 有 一项
是符 合题 目要 求的 ．
1. 40 0 是 ( )
A . 第一 象限 角 B. 第二 象限 角 C. 第三 象限 角 D . 第四 象限 角
2. 设 角属 于第 二象 限， 且 co s co s ，则 角属 于（ ）
2 2 2
A ．第 一 象限 B ．第 二 象限 C ．第 三 象限 D ． 第四 象限
3. 2设扇 形的 周长 为 8c m ，面 积为 4 cm ，则 扇形 的圆 心角 的弧 度数 是（ ）
5 1A． 8 B ． C ． 2 D ． 无法 确定
2
4. 如果 ，那 么下 列各 式正 确的 是（ ）
4 2
A ． co s t an s i n B ． s i n co s t an
C ． t an s i n co s D ． co s s i n t an
5. 8r a d 与 0 2 终边 关于 原点 对称 ，则 的值 是（ ）
A ． 3 8 B ． 8 2 C ． 4 8 D ． 8
6. 为了 得到 函数 y c o s 3x，只 需要 把 y c o s x图象 上所 有的 点的 ( )
1
A ．横 坐 标伸 长到 原来 的 3 倍， 纵坐 标不 变 B ． 横坐 标缩 小到 原来 的 倍， 纵坐 标不 变
3
1
C ． 纵坐 标伸 长到 原来 的 3 倍， 横坐 标不 变 D ．纵 坐 标缩 小到 原来 的 倍， 横坐 标不 变
3
17. “ ” 是 s i n 的( )
6 2
A ．充 分 不必 要条 件 B ． 必要 不充 分条 件
C ． 既不 充分 也不 必要 条件 D ．充 要 条件
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8. 如图 , y As i n x , A 0, 0, 的最 高点 D 的坐 标为 2 , 2
由最 高点 运动 到相 邻的 最低 点 F 时曲 线与 x 轴交 点 E 的坐 标为 6 , 0 ,
则 A ＝ ； ＝ ； ＝ （ ）
2, , 2 , , 2, , 2 , A ． B ． C ． D ． ,
4 8 4 8 8 4 8 4
二 、选 择 题： 本 题共 3 小 题， 每 小题 6 分 ，共 1 8 分 ．在 每 小题 给 出的 四 个 选项 中 ，有 多 项
符合 题目 要求 ，全 部选 对的 得 6 分， 部分 选对 的得 部分 分， 有选 错的 得 0 分．

9. 已知 角 与角 的终 边相 同， 则角 可以 是 ( )
3
7 5 4 1 3
A ． B ． C ． D ．
3 3 3 3
1 0. 下 列 函数 中， 最小 正周 期为 的函 数为 （ ）
A ． y si n x B． y si n x y 2 C． si n( 2x ) D ． y s i n ( 2 x)
3 3
1 1. 将 函 数 f ( x) s i n ( 2x ) ( 0 )

的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数
4
g ( x) s i n ( 2x ) 的图 象， 则下 列说 法正 确的 是 ( )
6

A ． =
3
B ． 函数 f ( x ) 的最 小正 周期 为
f ( x ) ( C ． 函数 的图 象关 于点 , 0 ) 成中 心对 称
3
5
D ．函 数 f ( x ) 的一 个单 调递 减区 间为 [ , ]
1 2 1 2
第 Ⅱ 卷（ 92 分 ）
三、 填空 题： 本题 共 3 小题 ，每 小题 5 分， 共 1 5 分．
2 π 12 . 已知 a 4 ， e为单 位向 量， 它们 的夹 角为 ，则 e在 a上的 投影 向量 是_ _ _ __ _ _ __ ．
3
13 . 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 R ， f ( x 1) 为 奇 函 数 ， f ( x 2 ) 为 偶 函 数 ， 当 x [1 , 2 ] 时 ，
f ( x ) a x 2 b.若 f ( 0 ) f ( 3) 6 f ( 9，则 ) _ _ _ __ _ _ __ ．
2
2 2 14 . 设点 O 是 △ AB C 三边 的垂 直平 分线 的交 点， 且 A C 2A C A B 0，则 B C A O 的取 值
范围 是_ _ _ __ _ _ __ ．
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四、 解答 题： 本题 共 5 小题 ，共 7 7 分． 解答 应写 出文 字说 明、 证明 过程 或演 算步 骤．
15 ．（ 1 3 分）
已知 M (3 , 4 )为角 终边 上一 点 .
co s ( ) 2 co s ( )
(1 ) 求 s i n 和 t a n 的值 ； ( 2) 2求 的值 .s i n ( ) s i n( )
2
16 ．（ 1 5 分）
如图 为一 个观 览车 示意 图， 该 观 览车 圆半 径为 4 m ，圆 上 最低 点与
地面 距离 为 1m ，1 0 分钟 转动 一圈 ，图 中 OA 与地 面垂 直 ；以 O A 为
始边 ，逆 时针 转动 角到 O B ，设 B 点与 地面 距离 为 h ：
(1 )设 从 OA 开始 转动 , 经过 t (t ≥ 0 )分 钟 到达 O B ,
求 h 与 t 的函 数解 析式 ： h f t
(2 ) 写出 h f t 的单 调递 增区 间 .
17 ．（ 1 5 分）
设 、 、 满足 0 2 ，若 对任 意 x R ，
co s (x ) co s (x ) co s (x ) 0 成立 ，求 的值 ．
1 8． （ 1 7 分）
1
用 i 和 j做基 向量 ， 其中 i 1, j , i , j ，对 于 与 i 、 j共面 的任 意 一个 向量 n，
2 4

根 据平 面向 量 基本 定理 ， 存在 唯一 的 一对 实数 p , q ， 使得 n p i q j， 我们 定 义有 序 实 数
对 p , q 为 向量 n在 基底 i , j 下的 坐 标 。已 知 在基 底 i , j 下向 量 a的坐 标 是 a 1 , a 2 ，向

量 b的坐 标 是 b 1 , b2 .

(1 ) 求 a +b ， a（ 其中 R ）在 基 底 i , j 下的 坐标 并写 出求 解过 程.

(2 )求 a b的坐 标运 算式 并写 出求 解过 程 .
(3 ) 在基 底 i , j 下， 向量 l 的坐 标 是 3 , 4 ， 求 l .
1 9． （ 1 7 分）
f x 1设 k s i n2x co skx k ， 是 否 存 在 自 然 数 m ， n 且 m n，使 得 ： f m x f n x 为 恒 定
常数 ？如 果存 在， 求出 m ，n 如果 不存 在， 说明 理由 .
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沈 阳 二中 2 8 届 2 0 2 5 - 2 0 2 6 学 年 度 下 学期 阶 段 能力 测 试
数 学 试 题 参 考 答 案
一、 选择 题： 本题 共 8 小题 ，每 小题 5 分， 共 4 0 分．
1 ． D 2 ． C 3 ． C 4 ． D 5 ． D 6 ． B 7 ． A 8 ． D
二、 选择 题： 本题 共 3 小题 ，每 小题 6 分， 共 1 8 分．
9 ． A B D 1 0． BC D 11 ． BD
三、 填空 题： 本题 共 3 小题 ，每 小题 5 分， 共 1 5 分．
1
5 1
1 2． a 1 3． 1 4． [ , 2 )
8 2 4
四、 解答 题： 本题 共 5 小题 ，共 7 7 分．
1 5． （ 1 3 分）
解：
(1 ) M (3 , 4) 为角 终边 上一 点，
s i n 4 4 4 , t an .
4 2 32 5 3 …… 6 分
co s ( ) 2 co s ( )
( 2 ) 2 s i n 2 co s t an 2 2 .
s i n ( ) s i n ( ) s i n co s t an 1
2 …… 1 3 分
1 6． （ 1 5 分）
解： (1 ) T 10 ，
5
h t 4 s i n t

5 4 co s (
t ) 5, t 0 …… 9 分 （定 义 域 3 分 ）
5 2 5
(2 ) 10 k , 1 0 k 5 , k N …… 1 5 分 （k 的取 值范 围 3 分）
1 7． （ 1 5 分）
解： 设 f x co s x co s x co s x ，
由 x R ， f x 0知： f 0, f 0, f 0 …… 4 分
即 co s co s 1 ，
co s co s 1 ，
co s co s 1
∴ co s co s co s 1 …… 8 分
2
0 2 , 2 4 ∵ ∴ , , …… 1 2 分
3 3
又 , 只有 2
3
∴ 4 …… 1 5 分
3
1 8． （ 1 7 分）

解： ( 1) ∵ a的坐 标 ( a1 , a2 ) ， b的坐 标 (b 1 , b2 )

∴ a a1 i a 2 j ， b b1 i b2 j …… 1 分

∴ a b (a1 i a 2 j ) (b1 i b2 j ) (a1 i b1 i ) (a 2 j b2 j ) (a1 b1 )i (a 2 b2 ) j …… 3 分

a (a1 i a 2 j) a1 i a 2 j …… 4 分

∴ a b的坐 标为 (a1 b1 ,a2 b2 ) …… 5 分

a的坐 标为 ( a1 , a2 ) …… 6 分
2 2
( 2) a b (a1 i a 2 j ) (b1 i b2 j ) a1 b 1 i a 2 b2 j a1 b 2 i j a 2 b1 j i
2 2
a1 b 1 i a2 b2 j (a1 b 2 a2 b1 )i j
…… 1 0 分

i 1 j 1 i , j ∵ ， ，
2 4

∴ i j i j co s 2
4 4

a b a b 1 a b 2∴ 1 1 4 2 2
(a
4 1
b 2 a 2 b1 ) …… 1 3 分

( 3) ∵ l 的 坐标 是 3 , 4 ∴ l 3i 4 j…… 1 4 分
2 2 2 2 2 2
l l (3 i 4 j) 2 9i 1 6 j 24 i j 9 i 16 j 24 i j co s
4
9 4 2 4 1 2 1 1 3 6 2
2 2

∴ l 1 3 6 2 …… 1 7 分
1 9． （ 1 7 分）
解： 假设 存在 ，设 g x f m x f 1 2n x s i n x co smx 1 s i n2x co sn xm n
g 0 fm 0 f 0
1 1n 0 …… 1 分n m
1 1
g x 0 …… 3 分
n m
g 1 co sn 1 co sm 1 1 …… 4 分
n m n m
∴m ， n 为偶 数… … 5 分
g 1 1 1 co s n 1 m co s 2 m n n 2 m 2
0…… 7 分

1 1 n m 0 且 co s ， c o s 只能 为± 1 …… 9 分
m n 2 2
∴只 有 ： c o s n 1 co s m ， 1 …… 1 0 分
2 2
n m
为偶 数， 为奇 数 …… 1 2 分
2 2
n 4p p Z ，m 4q 2 q Z …… 1 3 分
g 2 1 1 …… 1 4 分
2 m n m
3 1 3n m …… 1 5 分
m n
12 p 4 q 2
6 p 2 q 1 矛盾 …… 1 6 分
∴不 存 在 …… 1 7 分

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