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第十七章 因式分解 综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.对于式子①a－2ab＝a(1－2b)；②(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2从左到右的变形，表述正确的是(　　)
A．①是因式分解，②是乘法运算 B．①是乘法运算，②是因式分解
C．①②都是因式分解 D．①②都是乘法运算
2．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式x＋2的是(　　)
A．x2＋2x　 B．x2－4
C．(x－2)2＋8(x－2)＋16　 D．x3＋3x2
3．将a3b－ab3因式分解的结果是(　　)
A．ab(a2－b2) B．a(a2b－b3)
C．ab(a＋b)(a－b) D．ab(a－b)2
4．若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，则常数m的值为(　　)
A．1或5 B．7或－1
C．5 D．1
5．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上的符号代表的内容．
分解因式：2a(x2－1)－2b(x2－1)． 解：2a(x2－1)－2b(x2－1) ＝2(x2－1)__?__ ＝__☆__． 其中运用到的方法是__△__和__□__．
下列说法错误的是(　　)
A．?代表(a－b) B．☆代表2(x＋1)(x－1)(a－b)
C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法
6．一名密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：a－b，x－1，3，x2＋1，a，x＋1，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将3a(x2－1)－3b(x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　)
A．爱数学 B．我爱数学
C．爱祖国 D．我爱祖国
7．将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图①可得等式x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．将若干张图②所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式a2＋3ab＋2b2分解因式为(　　)
A．(a＋b)(2a＋b) B．(a＋2b)(3a＋b)
C．(a＋b)(a＋2b) D．(a＋b)(a＋3b)
8．如图所示的是长、宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　)
A．2 560 B．490 C．70 D．49
(第8题)　(第13题)
9．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列各数中为“幸福数”的是(　　)
A．285 B．330
C．512 D．582
10．对于任意正整数a，多项式(3a＋5)2－4都能(　　)
A．被9整除 B．被a整除
C．被a＋1整除 D．被a－1整除
二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)11.分解因式：a2－4＝__________．
12．若m，n为常数，多项式x2＋mx＋n可因式分解为(x－1)(x＋2)，则(m＋n)2 027的值为________．
13．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图①中直角三角形的三边长a，b，c存在a2＋b2＝c2的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图②，分别将以a为边长的正方形和以b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若(c－a)(c－b)＝18，则a＋b－c＝________．
三、解答题(本大题共4小题，共48分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)14.(12分)分解因式：
(1)4x2－64; (2)a3＋2a2b＋ab2；
(3)(a－b)2－2(b－a)＋1; (4)x2－2xy＋y2－16z2.
15.(12分)用简便方法计算：
(1)9992＋999; (2)23×2.718＋271.8×0.59＋180×0.271 8；
(3)999.92－0.12; (4)－.
16.(10分)(1)如图①，从边长为a的正方形纸板的正中间挖去一个边长为b的小正方形纸板，将其裁成四个相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形(如图②)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的因式分解公式是______________________．
(2)52－32＝(5＋3)×(5－3)＝8×2；
112－52＝(11＋5)×(11－5)＝16×6＝8×12；
152－32＝(15＋3)×(15－3)＝18×12＝8×27；
192－72＝(19＋7)×(19－7)＝26×12＝8×39.
根据上面四个算式，请你再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)．
(3)用文字描述(2)中算式的规律，并说明这个规律的正确性．
17．(14分)阅读下列材料：
我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法，即将多项式x2＋bx＋c(b，c为常数)写成(x＋h)2＋k(h，k为常数)的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式的最大、最小值的问题．
例1：分解因式：x2＋2x－3.
解：原式＝(x2＋2x＋1)－1－3＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．
例2：求代数式x2－2x－5的最小值．
解：原式＝(x2－2x＋1)－1－5＝(x－1)2－6，
∵(x－1)2≥0，∴当x＝1时，代数式x2－2x－5取得最小值，最小值是－6.
请根据上述材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2－6x－16；
(2)求多项式y2＋8y－2 026的最小值；
(3)已知m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m，n的值．
答案
一、1.A　2.D　3.C　4.B　5.D　
6．D　7.C　8.B　9.C　10.C
二、11.(a＋2)(a－2)　12.－1　13.6
三、14.解：(1)原式＝4(x2－16)＝4(x＋4)(x－4)．
(2)原式＝a(a2＋2ab＋b2)＝a(a＋b)2.
(3)原式＝(a－b)2＋2(a－b)＋1＝(a－b＋1)2.
(4)原式＝(x－y)2－(4z)2＝(x－y＋4z)(x－y－4z)．
15．解：(1)9992＋999＝999×(999＋1)＝999×1 000＝999 000.
(2)23×2.718＋271.8×0.59＋180×0.271 8＝23×2.718＋2.718×59＋18×2.718＝2.718×(23＋59＋18)＝2.718×100＝271.8.
(3)999.92－0.12＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1)＝999.8×1 000＝999 800.
(4)－＝×＝－×1＝－.
16．解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)
(2)32－12＝(3＋1)×(3－1)＝4×2＝8×1，172－52＝(17＋5)×(17－5)＝22×12＝8×33.(答案不唯一)
(3)两个正奇数的平方差一定能被8整除．说明如下：
设较大的正奇数为2n＋1，较小的正奇数为2m－1，其中n，m是正整数，n≥m，
则(2n＋1)2－(2m－1)2＝[(2n＋1)＋(2m－1)][(2n＋1)－(2m－1)]＝4(m＋n)(n－m＋1)，
易得(m＋n)(n－m＋1)是2的倍数，
∴4(m＋n)(n－m＋1)是8的倍数．
∴(2n＋1)2－(2m－1)2是8的倍数，
即两个正奇数的平方差一定能被8整除．
17．解：(1)原式＝(x2－6x＋9)－9－16＝(x－3)2－25＝(x－3＋5)(x－3－5)＝(x＋2)(x－8)．
(2)原式＝(y2＋8y＋16)－16－2 026＝(y＋4)2－2 042，
∵(y＋4)2≥0，∴当y＝－4时，多项式 y2＋8y－2 026取得最小值，最小值是－2 042.
(3)∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴(m2＋2mn＋n2)＋(n2－6n＋9)＝0，
即(m＋n)2＋(n－3)2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，解得n＝3，m＝－3，
∴m的值为－3，n的值为3.
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