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第十三章 三角形　综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，连接AD，则图中三角形的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(第1题)　(第2题)　(第3题)
2．如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是(　　)
A．AD是∠BAC的平分线 B．AD是BC边上的高
C．AD是BC边上的中线 D．AD是BC边上的垂直平分线
3．如图，在△ABC中，边AB上的高是(　　)
A．CE B．BE
C．AF D．BD
4．在△ABC中，∠A＝∠B－∠C，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
5．如图，AB∥CD，FE⊥BD，垂足为E，∠1＝55°，则∠2的度数是(　　)
A．25° B．35°
C．45° D．55°
(第5题)　　(第6题)
　　　(第7题)　(第8题)
6．如图，将三角形ABC沿虚线剪去一部分得到四边形BCDE，设三角形ABC与四边形BCDE的周长分别为m和n，则m与n的大小关系是(　　)
A．m>n B．m＝2n
C．m7．三角尺是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形．将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠EAC的度数为(　　)
A．10° B．30°
C．15° D．25°
8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积是(　　)
A．32 B．36
C．28 D．30
9．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰三角形ABC的周长为20，其中一边长为6，则这个等腰三角形的“和谐比”为(　　)
A. B.
C.或 D.或
10．在图①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1＋∠O2＋∠O3＝(　　)
A．84° B．111°
C．225° D．201°
二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)11.花楼机是我国古代织造技术最高成就的代表，明代《天工开物》中详细记载了花楼机的构造．如图是花楼机上的一个三角形木框架，它是由三根木料固定而成的，三角形的大小和形状固定不变，三角形的这个性质叫作三角形的________．
(第11题)　　　(第13题)
12．三角形的三边长分别为5，8，2x＋1，则x的取值范围是 ________．
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在射线BC上，EF⊥AD于点F，∠B＝40°，∠ACE＝78°，则∠E的度数为________．
三、解答题(本大题共4小题，共48分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)14.(10分)如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠C＝40°，∠B＝70°，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求∠CAE的度数；
(2)求∠ADF的度数．
15．(10分)在学习了三角形后，老师给班里每人准备了一根12 cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框．
(1)小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2 cm，试判断第一段的长能否为3 cm，并说明理由；
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的AB＝4 cm和CD＝8 cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三段木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度．
16．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠ADC与∠ABC互补，∠ABC，∠ADC的平分线分别交CD，AB于点E，F，EG∥AB，交BC于点G.
(1)∠1与∠2有怎样的数量关系？为什么？
(2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．
17．(16分)将一副三角尺的两个顶点按如图所示的方式摆放在直线MN上，且三角尺ADE始终摆放在直线MN的下方，三角尺ABC可绕点A任意旋转．已知∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠EAD＝30°.设∠BAN＝m°，∠DAN＝n° (0≤m≤180，0≤n≤150)．
(1)当m＋n＝0时，求∠CAE的度数；
(2)当n＝2m(m≠0)时，求∠CAM与∠MAE的数量关系；
(3)当C，A，E三点共线时，请通过画图探究说明m与n的数量关系．
答案
一、1.C　2.C　3.A　4.B　5.B　
6．A　7.C　8.A　9.C　10.D
二、11.稳定性　12.1三、14.解：(1)∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°－(∠C＋∠B)＝70°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝35°.
(2)∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠C＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝15°.
∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，
∴∠ADF＝90°－∠DAE＝75°.
15．解：(1)第一段的长不能为3 cm.理由：根据题意得第二段的长为(3a－2) cm，则第三段的长为[12－a－(3a－2)]＝(14－4a) cm，
当a＝3时，3a－2＝7，14－4a＝2.
∵3＋2＜7，∴三段木棒不能制作一个三角形木框，
∴第一段的长不能为3 cm.
(2)符合条件的CP的整数长度为3 cm或4 cm或5 cm.
16．解：(1)∠1与∠2互余．理由：
∵∠ABC与∠ADC互补，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠1＝∠ADC，∠ABE＝∠ABC.
∵EG∥AB，∴∠2＝∠ABE，
∴∠1＋∠2＝∠ADC＋∠ABC＝90°，即∠1与∠2互余．
(2)∵∠A＝100°，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠1＝42°，∠1＋∠2＝90°，
∴∠C＝360°－(∠ABC＋∠ADC)－∠A＝80°，∠2＝90°－∠1＝48°，
∴易得∠ABE＝∠CBE＝48°，
∴∠BEC＝180°－48°－80°＝52°，
∴∠CEG＝∠BEC－∠2＝52°－48°＝4°.
17．解：(1)∵0≤m≤180，0≤n≤150，m＋n＝0，∴m＝0，n＝0，
∴∠CAE＝∠CAB＋∠EAD＝90°＋30°＝120°.
(2)∵0≤m≤180，0≤n≤150，n＝2m，m≠0，∴0＜m≤75，分两种情况：
①当点B在直线MN上方时，∠CAM＝180°－∠BAC－∠BAN，即∠CAM＝180°－90°－m°＝90°－m°，∠MAE＝180°－∠EAD－∠DAN，即∠MAE＝180°－30°－n°＝150°－n°，
∵n＝2m，∴∠MAE＝2∠CAM－30°.
②当点B在直线MN下方时，∠CAM＝180°－(∠BAC－∠BAN)，即∠CAM＝180°－(90°－m°)＝90°＋m°，∠MAE＝180°－∠EAD－∠DAN，即∠MAE＝180°－30°－n°＝150°－n°，∵n＝2m，∴∠MAE＋2∠CAM＝330°.
(3)分情况讨论：①当点C，E在直线MN两侧，点B在直线MN上方时，如图①，m＋n＝180－90－30＝60；
②当点C，E在直线MN同侧，点B在直线MN上方时，如图②，m＋n＝360－90－30＝240；
③当点C，E在直线MN同侧，点B在直线MN下方时，如图③，m－n＝90＋30＝120；
④当点C，E在直线MN两侧，点B在直线MN下方时，如图④，n－m＝180－90－30＝60.
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