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第十五章 轴对称　综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列各运动图标中，是轴对称图形的是(　　)
A B
C D
2．下列命题的逆命题是真命题的是(　　)
A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的对应角相等
C．全等三角形的对应边相等 D．成轴对称的两个图形全等
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，则此图中的等腰三角形有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
(第3题)　(第4题)
4．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出，该球最后落入1号袋，那么经过反射的次数是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
5．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AE＝3 cm，△BDC的周长为8 cm，则△ABC的周长是(　　)
A．14 cm B．17 cm
C．19 cm D．20 cm
(第5题)　　(第6题)
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠CBA，AC＝3，那么AD的长是(　　)
A. B．2
C．1 D.
7．如图，已知∠MAN＝60°，点B，D在边AN上，且点D在点B的右侧，AB＝2，点C是边AM上一动点，在点C的运动过程中，始终保持CB＝CD，若AC＝m，则AD的长为(　　)
A.m＋1 B.m＋2
C.m－1 D．m－2
(第7题)(第8题)
8．如图，已知射线OM，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，过点B作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
9．如图，在平面直角坐标系中，∠A＝90°，OA＝4，OB平分∠AOM，点B(a－1，a－2)关于x轴的对称点的坐标是(　　)
A．(－4，3) B．(5，－2)
C．(4，－3) D．(5，－3)
10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为(　　)
A．58° B．64°
C．61° D．74°
(第9题)　(第10题)(第13题)
二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)
11.已知点P(3，－1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b，1－b)，则ab的值为________．
12．按如图所示的方法折纸，则∠1＋∠2＝________°.
13．如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α，点D是等边三角形ABC外一点，∠OCD＝60°，OC＝CD，连接OD，AD，则当α＝________________时，△AOD是等腰三角形．
三、解答题(本大题共4小题，共48分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)14.(10分)如图，在平面直角坐标系中，A(－1，5)，B(－3，0)，C(－4，3)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)写出点A1，B1，C1的坐标；
(3)求△ABC的面积．
15．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC，交AD于点E，交AC于点F.
(1)求证：△AEF是等边三角形；
(2)求证：BE＝EF.
16．(14分)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6.
(1)AD与BD的数量关系为________；
(2)求BC的长；
(3)连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为14，求OA的长．
17．(14分)如图①，点A(a，0)，B(0，b)，且a，b满足(a－1)2＋|2b－2|＝0.若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，以线段PB为腰构造等腰直角三角形BPE，且∠BPE＝90°，点E在BP右侧，连接AE.
(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________；
(2)如图②，当点P在点O，A之间运动时，AB，AE之间的位置关系为________，请加以证明；
(3)如图③，点P在x轴上运动的过程中，若AE所在直线与y轴交于点F，则点F的坐标为________，连接OE，当OE＋BE的值最小时，OE与BE之间的数量关系为________．
答案
一、1.A　2.C　3.C　4.C　5.A
6．B　7.D　8.D　9.C　10.B
二、11.－10　12.90
13．127.5°或105°或150°
三、14.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)A1(1，5)，B1(3，0)，C1(4，3)．
(3)△ABC的面积为3×5－×2×5－×1×3－×2×3＝.
15．证明：(1)∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°.
∴∠AFB＝90°－∠ABF＝90°－30°＝60°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝60°，∠AEF＝∠BED＝90°－∠CBF＝60°，
∴∠CAD＝∠AFE＝∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
(2)∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝30°，
由(1)知∠ABF＝30°，
∴∠ABE＝∠BAE.
∴AE＝BE.
由(1)知△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴BE＝EF.
16．解：(1)AD＝BD
(2)由(1)得AD＝BD.∵l2是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC.
∵△ADE的周长为6，∴AD＋DE＋AE＝6，∴BD＋DE＋EC＝6，即BC＝6.
(3)如图，∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB.
∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，∴OB＝OA＝OC.
∵△OBC的周长为14，BC＝6，
∴OB＋OC＝14－6＝8，
∴OB＝OC＝4，∴OA＝4.
17．解：(1)(1，0)；(0，1)
(2)AB⊥AE
证明：∵A(1，0)，B(0，1)，
∴OA＝OB＝1.
如图，过点E作EH⊥x轴于点H.
∵△BPE是等腰直角三角形，
且∠BPE＝90°，
∴BP＝PE，∠BPO＋∠EPH＝90°.
易知∠OBP＋∠BPO＝90°，
∴∠OBP＝∠EPH.
又∵∠BOP＝∠PHE＝90°，
∴△BOP≌△PHE(AAS)，
∴PH＝OB＝OA，OP＝EH，
∴OP＋PA＝PA＋AH，∴OP＝AH，∴EH＝AH，
∴∠HAE＝∠AEH＝45°.
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠EAB＝90°，∴AB⊥AE.
(3)(0，－1)；BE＝2OE
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